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列维-奇维塔联络

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列维-奇维塔联络Levi-Civita connection),在黎曼几何中, 是切丛上的无挠率联络,它保持黎曼度量(或伪黎曼度量)不变。因意大利数学家图利奥·列维-奇维塔而得名。

黎曼几何基本定理表明存在唯一联络满足这些属性。

黎曼流形伪黎曼流形的理论中,共变导数一词经常用于列维-奇维塔联络。联络的坐标空间的表达式称为克里斯托费尔符号

形式化定义[编辑]

(M,g) 为一黎曼流形(或伪黎曼流形),则仿射联络 \nabla 在满足以下条件时是列维-奇维塔联络。

  1. 挠率:也就是,对任何向量场 X, Y 我们有 \nabla_XY-\nabla_YX=[X,Y],其中 [X,Y]向量场 XY李括号
  1. 与度量相容:也就是,对任何向量场 X, Y, Z我们有 Xg(Y,Z)=g(\nabla_X Y,Z)+g(Y,\nabla_X Z),其中 Xg(Y,Z) 表示函数 g(Y,Z) 沿向量场 X 的导数。

沿曲线的导数[编辑]

列维-奇维塔联络也定义了一个沿曲线的导数,通常用 D 表示。

给定一个在 (M,g) 上的光滑曲线 \gamma\gamma 上的一个向量场 V,其导数定义如下

\frac{D}{dt}V=\nabla_{\dot\gamma(t)}V.

外部链接[编辑]