刘维尔定理 (复分析)

刘维尔定理表明，任何有界的整函数都一定是常数。也就是说，任何一个全纯函数f，如果对于C中所有的z，都存在一个正数M，使得|f(z)| ≤ M，则该函数必定是常数。

证明

由于f是整函数，它可以表示为关于0的泰勒级数：

$f(z) = \sum_{k=0}^\infty a_k z^k$

其中（根据柯西积分公式）：

$a_k = \frac{f^{(k)}}{k!} = {1 \over 2 \pi i} \oint_{C_r} {f( \zeta )\over \zeta ^{k+1}}\,d\zeta$

C_r是圆心位于0的圆，它的半径r > 0。我们可以直接估计

$| a_k | \leq \frac{1}{2 \pi} \oint_{C_r} \frac{ | f ( \zeta ) | }{ | \zeta^{k+1} |} \,d\zeta \leq \frac{1}{2 \pi} \oint_{C_r} \frac{ M }{ r^{k+1} } \,d\zeta \leq \frac{M}{r^k},$

在第二个不等式中，我们用到了对于所有z都有|f(z)| ≤ M的假设。但是，在我们使用的路径积分中，r的选择是任意的。因此，让r趋于无穷大，便得出对于所有的k ≥ 1，都有a_k = 0。因此，f(z) = a₀，这便证明了该定理。

参考文献

• Knopp, K. Theory of Functions Parts I and II, Two Volumes Bound as One, Part II. New York: Dover, p. 74, 1996.
• Krantz, S. G. "Entire Functions and Liouville's Theorem." §3.1.3 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 31-32, 1999.

外部链接

• Eric W. Weisstein, Liouville’s Boundedness Theorem, MathWorld.

• 刘维尔定理的教程