刘维尔定理 (复分析)

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刘维尔定理数学复分析的一个定理,由十九世纪法国数学家约瑟夫·刘维尔最先证明。刘维尔定理对整函数(即在整个复数\mathbb{C}上都是全纯函数)的值域进行了刻画。它表明,任何有界整函数都一定是常数。

比刘维尔定理更进一步的是皮卡定理。後者说明,只要一个整函数的值域中不包含两个相异的复数,则这个整函数是常数函数。

简介[编辑]

整函数是指从复数域\mathbb{C}射到复数域,并且在整个复数域上都是全纯函数的函数。全纯也称为复可微,是复函数的重要性质。某个函数]f : \; \; \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}在某点z_0全纯,指在点z_0以及其邻域上有定义,并且以下极限

\lim_{z \to z_0} \frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0}

存在。全纯函数是复分析中的中心概念。全纯不仅代表着复可微,而且可以证明,全纯函数必然无穷可微,是解析函数

刘维尔定理说明,任何一个整函数f : \; \; \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C},如果存在一个正数M,使得对于所有的复数zf(z)模长都小于等于M

z \in \mathbb{C}, \; \; | f(z) | \leqslant M ,

则该函数必定是常数函数。

证明[编辑]

证明用到了整函数和解析函数的关系。整函数必然是解析函数,设有整函数f : \; \; \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C},考虑它关于z_0 = 0解析展开

f(z) = \sum_{k=0}^\infty a_k z^k

其中的系数a_k可以根据柯西积分公式求得:


a_k = \frac{f^{(k)}}{k!} = {1 \over 2 \pi i} \oint_{C_r} {f( \zeta )\over \zeta ^{k+1}}\,d\zeta

其中C_r = \{ z ; \; |z| = r \}是以0为圆心半径r > 0。依照函数f有界的条件,可以估计系数a_k模长的上界:

| a_k  | 
\leq \frac{1}{2 \pi} \oint_{C_r}    \frac{ | f ( \zeta ) | }{ | \zeta^{k+1}  |} | \,d\zeta |
\leq \frac{1}{2 \pi} \oint_{C_r}    \frac{ M }{ r^{k+1}  } | \,d\zeta |
\leq \frac{M}{r^k},

在以上的估计中,积分路径C_r,其中半径r的选择是任意的。当r趋于无穷大时,\frac{M}{r^k}趋于0. 因此,让r趋于无穷大,便可以推出:对所有的k ≥ 1,都有ak = 0。这说明,

f(z) = \sum_{k=0}^\infty a_k z^k = a_0

即是说f是常数函数。定理得证。

应用与推论[编辑]

代数基本定理[编辑]

代数基本定理的证明中有一个较为简明的基于刘维尔定理的证明。

整函数的大小关系[编辑]

应用刘维尔定理可以证明,如果一个整函数f总比另一个整函数g小:|f| \leqslant |g|,那么这两个整函数成比例关系:\forall z\in \mathbb{C}, \; f(z) = \kappa \cdot g(z),其中\kappa是比例常数。

考虑函数h : \; \; z \; \mapsto \begin{cases} \frac{f(z)}{g(z)} & g(z) \neq 0, \\ 0 & g(z) = 0. \end{cases}

|f| \leqslant |g|说明,函数h的模长总小于等于1。另一方面,由于|f| \leqslant |g|,所以\frac{f(z)}{g(z)}奇点都是可去奇点,可以依照上面的方式拓延为整函数h。所以h作为一个有界的整函数,根据刘维尔定理,必然是常数函数。这说明fg成比例关系。

次线性整函数[编辑]

次线性函数,指函数值总小于等于定值乘以变量值的函数。设整函数f满足:

\forall z \in \mathbb{C}, \; \; | f(z) | \leqslant M |z|.

其中M是一个常数系数。考虑f导函数。根据柯西积分公式

|f'(z)|=\frac{1}{2\pi}\left|\oint_{C_r }\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^2}\mathrm{d}\zeta\right|\leq  \frac{1}{2\pi} \oint_{C_r} \frac{\left| f(\zeta) \right|}{\left| (\zeta-z)^2\right|} \left|\mathrm{d}\zeta\right|\leq \frac{1}{2\pi} \oint_{C_r} \frac{M\left| \zeta \right|}{\left| (\zeta-z)^2\right|} \left|\mathrm{d}\zeta\right|=\frac{MI_r^z}{2\pi}

其中C_r = \{ \zeta ; \; | \zeta - z | = r\} = \{ z + r\cdot e^{it} ; \; t \in [ 0, 2\pi ]\}是以z为圆心,半径为r的圆;

I_r^z = \oint_{C_r} \frac{\left| \zeta \right|}{\left| (\zeta-z)^2\right|} \left|\mathrm{d}\zeta\right| = \int_0^{2\pi} \frac{\left| z + r\cdot e^{it} \right|}{r} \mathrm{d}t

r=|z|,则\left| z + r\cdot e^{it} \right| \leqslant |z|+ r = 2r. 所以I_r^z \leqslant \int_0^{2\pi} 2 \mathrm{d}t = 4\pi.,因此

|f'(z)| \leqslant 2M.

因此依据刘维尔定理,f'是常数函数。另一方面,| f(0) | \leqslant M |0|,所以f(0)=0. 综上可知,次线性整函数f是线性函数。

参考文献[编辑]

  • Knopp, K. Theory of Functions Parts I and II, Two Volumes Bound as One, Part II. New York: Dover, p. 74, 1996.
  • Krantz, S. G. "Entire Functions and Liouville's Theorem." §3.1.3 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 31-32, 1999.

外部链接[编辑]