刚性方程

在数学中，刚性方程是指一个微分方程，其數值分析的解只有在時間間隔很小時才會穩定，只要時間間隔略大，其解就會不穩定。目前很難去精确地去定義哪些微分方程是刚性方程，但是大体的想法是：这个方程的解包含有快速变化的部分。

範例

考虑下面的初值问题：

$\,y'(t)=-15y(t),\quad t \ge 0, y(0)=1.$

其精确解是

$y(t)=e^{-15t}$，并且显然当 $t$ → ∞ 时 $y(t)$ → $0$。

我们希望数值解能够具有相同的特性。

若以歐拉方法來求數值解，則使用不同的步长（step size）將會得到不同的結果。第一种，步长$h=1/4$的欧拉法强烈的震荡并且很快离开了图的边界。当将步长减半为$h=1/8$时，得到的结果在图的范围以内。但是它依然在0附近震荡，并且不可能表示精确的解。

而梯形法，即两阶段亚丹士-莫耳吞法，表达为

$y_{n+1}=y_n+{1\over 2}h\left(f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1})\right).$

使用它比使用欧拉法得到了好的多的结果。如上图所示，数值结果单调地减少到零，如同精确解一样。

刚性的特征

特征值的实部均为负数并且实部最大的的特征值的实部与实部最小的的特征值的实部的比值远大于1。

龙格-库塔法

例子: 欧拉与梯度法

The pink disk shows the stability region for the Euler method.

The pink region is the stability region for the trapezoidal method.

参见

• Explicit and implicit methods
• Condition number

参考资料

• Dahlquist, Germund, A special stability problem for linear multistep methods, BIT. 1963, 3: 27–43, doi:10.1007/BF01963532 .
• Ehle, B. L., On Padé approximations to the exponential function and A-stable methods for the numerical solution of initial value problems, Report 2010, University of Waterloo. 1969 .
• Hairer, Ernst; Wanner, Gerhard, Solving ordinary differential equations II: Stiff and differential-algebraic problems. second, Berlin: Springer Verlag. 1996, ISBN 978-3-540-60452-5 .
• Iserles, Arieh; Nørsett, Syvert, Order Stars, Chapman and Hall. 1991, ISBN 978-0-412-35260-7 .
• Wanner, Gerhard; Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert, Order stars and stability theory, BIT. 1978, 18: 475–489, doi:10.1007/BF01932026 .

外部链接

• An Introduction to Physically Based Modeling: Energy Functions and Stiffness