初等代數

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初等代數是一個初等且相對簡單形式的代數,教導對象為還沒有數學算術方面正規知識的學生們。當在算術中只有數字和其運算(如:)出現時,在代數中也會使用符號(如:xyab)來表示數字,這些符號稱做變數。這是很有用的,因為:

  • 它使得算術等式(或不等式)可以被描述成定律(如:對任一aba + b = b + a),因此這是系統化學習實數性質的第一步。
  • 它允許涉及未知的數字。在一個問題的內容裡,變數或許代表某一還不確定,但可能可以經由方程的規劃及操縱來解開的數值。
  • 它允許探究數量之間的數學關係的可能(如「若你賣了x張票,你的收益將有3x-10元」)。

這三個是基本代數的主要組成部份,以區隔其與目的為教導大學生更高深主題的抽象代數的不同。

在初等代數裡,表示式包含有數字、變數及運算。它們通常把較高次項(習慣上)寫在表示左邊(參考多項式),舉幾個例子來說:

x + 3
y^{2} + 2x - 3
z^{7} + a(b + x^{3}) + 42/y - \pi

在更進階的代數裡,表示式也會包含有初等函數

一個等式表示其等號兩邊的表示式是相等的。某些等式對於其中變數的所有取值都成立(如a + b = b + a);這種等式稱為恆等式。而其他只有變數在某些值時才正確(如x^{2} - 1 =4,此一使等式成立的變數值則稱為這等式的

初等代數定律[编辑]

[1]

  • 加法是一可交換的運算(兩個數不論順序為何,它加起來的總和都一樣)。
    • 減法是加法的逆運算。
    • 減去一個數和加上一個此數的負數是一樣意思的:
 a - b = a + (-b)
例子: 若 5 + x = 3 ,則 x = -2
  • 乘法是一可交換的運算。
    • 除法是乘法的逆運算。
    • 除去一個數和乘上一個此數的倒數是一樣意思的:
 {a \over b} = a \left( {1 \over b} \right)
  • 不是一可交換的運算。
    • 但冪卻有兩個逆運算:對數和分數指數的冪(如平方根)。
      • 例如:若3^x = 10,則x = \log_3 10。若x^{2} = 10,則x = 10^{1 / 2}
    • 負數的平方根不存在於實數內。(參考:複數)
  • 加法的結合律性質:(a + b) + c = a + (b + c)
  • 乘法的結合律性質:(ab)c = a(bc).
  • 對應加法的乘法分配律性質:c(a + b) = ca + cb
  • 對應乘法的冪分配律性質:(a b)^c = a^c b^c
  • 冪的乘法: a^b a^c = a^{b+c}
  • 冪的冪: (a^b)^c = a^{bc}

等於的定律[编辑]

其他定律[编辑]

  • a = bc = d,則a + c = b + d
    • a = b,則對任一ca + c = b + c(等於的可加性)。
  • a = bc = d,則ac = bd
    • a = b,則對任一cac = bc(等於的可乘性)。
  • 若兩個符號相等,則一個總是能替換另一個(替換原理)。
  • a > bb > c,則a > c (不等式的遞移律)。
  • a > b,則對任一ca + c > b + c
  • a > bc > 0,則ac > bc
  • a > bc < 0,則ac < bc

例子[编辑]

一元一次方程[编辑]

最簡單的方程為一元一次方程,它們是含有一個常數和一沒有冪的變數。例如:

2x + 4 = 12. \,

其中心解法為在等式的兩邊同時以相同數字做加、減、乘、除,以使變數單獨留在等式的一側。一旦變數獨立了,等式的另一邊即是此變數的值。例如,將上面式子兩邊同時減去4:

2x + 4 - 4 = 12 - 4 \,

簡化後即為

2x = 8. \,

再同時除以2:

\frac{2x}{2} = \frac{8}{2} \,

再簡化後即為答案:

x = 4. \,

一般的情形

ax+b=c

也可以依同樣的方式得出答案來:

x=\frac{c-b}{a}

一元二次方程[编辑]

一元二次方程可以表現成ax^{2} + bx + c = 0,在這a不等於零(假如a等於零,則此方式為一次方程式而非二次方程式).二次方程式必須保持二次的形態,如 ax^{2},. 二次方程式可以通過因式分解求解(多項式展開的逆過程),或者一般地使用二次方程公式。因式分解的舉例:

x^{2} + 3x = 0. \,

這相當於:

x(x + 3) = 0. \,

0和-3是它的解,因爲把x置為0或-3便使上述等式成立。 所有二次方程式在複數體系中都有兩個解,但是在實數系統中卻不一定,例如:

x^{2} + 1 = 0 \,

沒有實數解,因爲沒有實數的平方是-1。 有時一個二次方程式會有2重根,例如:

(x + 1)^{2} = 0. \,

在這個方程中,-1是2重根。

線性方程組[编辑]

線性方程組內,如兩個變數的方程組內有兩個方程式的話,通常可以找出可同時滿足兩個方程式的兩個變數。

下面為線性方程組的一個例子,有兩個求解的方法:

4x + 2y = 14 \,
2x - y = 1. \,

求解的第一種方法[编辑]

將第2個等式的左右項各乘以2,

4x + 2y = 14 \,
4x - 2y = 2. \,

再將兩式相加,

\, 8x = 16,

上式可化簡為

x = 2. \,

因爲已知x = 2,於是就可以由兩式中的任意一個推斷出y = 3。所以這個問題的完整解為

\begin{cases} x = 2 \\ y = 3. \end{cases}\,

注意:這並不是解這類特殊情況的唯一方法;y也可以在x之前求得。

求解的第二種方法[编辑]

另一種求解的方法為替代。

\begin{cases}4x + 2y = 14 \\ 2x - y = 1.\end{cases} \,

y的等值可以由兩個方程式中的其中一種推出。我們使用第二個方程:

2x - y = 1 \,

由方程的兩邊減去 2x

2x - 2x - y = 1 - 2x \,
- y = 1 - 2x \,

再乘上 -1:

 y = 2x - 1. \,

將此y值放入原方程組的第一個方程式:

4x + 2(2x - 1) = 14 \,
4x + 4x - 2 = 14 \,
8x - 2 = 14 \,

在方程的兩端加上 2

8x - 2 + 2 = 14 + 2 \,
8x = 16 \,

此可簡化成

x = 2 \,

將此值代回兩個方程式中的一個,可求得和上一個方法所求得的相同解答。

\begin{cases} x = 2 \\ y = 3. \end{cases}\,


注意:這並不是解這類特殊情況的唯一方法;在這個方法裡也是一樣的,y也可以在x之前求得。

另見[编辑]

參考[编辑]

脚注[编辑]

  1. ^ Mirsky, Lawrence (1990) An Introduction to Linear Algebra Library of Congress. p.72-3. ISBN 0-486-66434-1.