初等函数

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微积分学
\int_M \mathrm{d}\omega = \oint_{\partial M} \omega
函数 · 导数 · 微分 · 积分

初等函数(基本函數)是由常函数幂函数指数函数对数函数三角函数反三角函数经过有限次的有理运算(有理数乘方、有理数次开方)及有限次函数复合所产生、并且在定义域上能用一个方程式表示的函数

一般来说,分段函数不是初等函数,因为在这些分段函数的定义域上不能用一个解析式表示。

常函数[编辑]

f(x)=C为常数函数,其中C常数,它的定义域为(\infty,-\infty)
常函数图像

幂函数[编辑]

称形如f(x) = Cx^r的函数为幂函数,其中C, r为常数。幂函数的定义域与r的值有关,但是不管r取何值,该函数在(0,+\infty)上总有意义
几种常见的幂函数图像

指数函数[编辑]

称形如f(x) = a^x的函数为指数函数,其中a是常数,a>0a\ne 1。该函数的定义域为(-\infty,+\infty)值域(0,+\infty)
指数函数的图像

对数函数[编辑]

称形如y=\log_a x\!的函数为对数函数,其中a>0a\ne1,是指数函数y=a^x反函数。该函数定义域为(0,+\infty),值域为(-\infty,+\infty)
e, 绿色函数底数是2,而藍色函数底数是1/2。在数轴上每个刻度是半个单位。所有底数的对数函数都通过点(1,0),因为任何数的0次幂都是1,而底数 β 的函数通过点(β ,1),因为任何数的1次幂都是自身1。曲线接近 y 轴但永不触及它,因为x=0的奇异性。

三角函数[编辑]

正弦函数[编辑]

称形如f(x)=\sin x的函数为正弦函数,它的定义域为(-\infty,+\infty),值域为[-1,1],最小正周期为2\pi
正弦函数图像

余弦函数[编辑]

称形如f(x)=\cos x的函数为余弦函数,它的定义域为(-\infty,+\infty),值域为[-1,1],最小正周期为2\pi
余弦函数图像

正切函数[编辑]

称形如f(x)=\tan x的函数为正切函数,它的定义域为\{x|x\neq k\pi+\frac{\pi}{2},\,k\in \mathbb{Z}\},值域为(-\infty,+\infty),最小正周期为\pi
正切函数图像

余切函数[编辑]

称形如f(x)=\cot x的函数为余切函数,它的定义域为\{x|x\neq k\pi,\,k\in \mathbb{Z}\},值域为(-\infty,+\infty),最小正周期为\pi
余切函数]图像

正割函数[编辑]

称形如f(x)=\sec x的函数为正割函数,它的定义域为\{x|x\neq \frac {k\pi}{2},\,k\in \mathbb{Z}\},值域为(-\infty,-1] \cup [1,+\infty),最小正周期为2\pi
正割函数图像

余割函数[编辑]

称形如f(x)=\csc x的函数为余割函数,它的定义域为\{x|x\neq k\pi,\,k\in \mathbb{Z}\},值域为(-\infty,-1] \cup [1,+\infty),最小正周期为2\pi
余割函数图像

反三角函数[编辑]

其它常见初等函数[编辑]

双曲函数[编辑]

双曲正弦函数:y=\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}
双曲余弦函数:y=\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}
双曲正切函数:y=\tanh x=\frac {\sinh x}{\cosh x}= \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}

反双曲函数[编辑]

反双曲正弦函数:y=\operatorname{arsinh}\,x=\ln(x+\sqrt{x^2+1})
反双曲正切函数:y=\operatorname{arcosh}\,x=\ln(x+\sqrt{x^2-1})