初等變換

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初等變換或初等行變換、初等列變換這些線性變換通常用於解高斯消去法中的一組線性方程。當一個矩陣和初等矩陣相乘時，該矩陣就相當於經過一次同樣的變換。舉例來說，當我們以行交換變換初等矩陣乘上一個矩陣時，相乘的結果就如同直接對矩陣的指定行進行交換一樣。

以下分列出三種初等變換和相應的初等矩陣：

  1. 行交換變換
  2. 行倍乘變換
  3. 行倍加變換

將行改為列，即為相應的列變換。

目录

[编辑] 行交換變換

該變換將 Tij 矩陣的第 i 行（列）和第 j 行（列）交換。

T_{i,j} = \begin{bmatrix} 1 & & & & & & & \\ & \ddots & & & & & & \\ & & 0 & & 1 & & \\ & & & \ddots & & & & \\ & & 1 & & 0 & & \\ & & & & & & \ddots & \\ & & & & & & & 1\end{bmatrix}\quad
該矩陣是將單位矩陣的第 i 行和第 j 行互相交換所得到的。

[编辑] 性質

[编辑] 行倍乘變換

該變換將 Ti(m) 矩陣中第 i 行（列）的所有元素皆乘上一個非零值 m。

T_i(m) = \begin{bmatrix} 1 & & & & & & & \\ & \ddots & & & & & & \\ & & 1 & & & & & \\ & & & m & & & & \\ & & & & & 1 & & \\ & & & & & & \ddots & \\ & & & & & & & 1\end{bmatrix}\quad

[编辑] 性質

  • 將乘上的數除回去，即為該矩陣的逆矩陣：Ti(m)−1 = Ti(1/m)。
  • 該矩陣及其逆矩陣皆為對角矩陣。
  • 該矩陣的行列式即為所乘上的數：det[Ti(m)] = m。因此，對於任何可相乘方形矩陣(conformable square matrix)A 皆遵守：det[Ti(m)A] = m det[A]。

[编辑] 行倍加變換

該變換將 Tij(m) 矩陣中第 i 行乘上數 m，然後再加進第 j 行。

T_{i,j}(m) = \begin{bmatrix} 1 & & & & & & & \\ & \ddots & & & & & & \\ & & 1 & & & & & \\ & & & \ddots & & & & \\ & & -m & & 1 & & \\ & & & & & & \ddots & \\ & & & & & & & 1\end{bmatrix}

[编辑] 性質

  • 將倍加上的數減回去，即為該矩陣的逆矩陣：Tij(m)−1 = Tij(−m)。
  • 該矩陣及其逆矩陣皆為三角矩陣。
  • 該變換不改變矩陣的行列式：det[Tij(m)] = 1。因此，對於任何可相乘方形矩陣(conformable square matrix) 皆遵守：det[Tij(m)A] = det[A]。

[编辑] 初等矩陣

對單位矩陣進行一次初等變換所得到的矩陣，即為初等矩陣。

[编辑] 參閱

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