力偶

跳过字词转换说明

经典力学

$\mathbf{F} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(m \mathbf{v})$ 牛頓第二定律

歷史、年表            分支 静力学、動力學、運動學 工程力學、天體力學 連續介質力學、統計力學 理論表述 牛頓力學（矢量力學） 分析力學： 拉格朗日力學 哈密頓力學 基礎概念 空間、時間、速度、加速度 質量、重力、力矩、參考系 力、力偶、動量、刚体 角動量、慣性、慣性矩 能量、動能、勢能、虛功 作用量、拉格朗日量 、衝量 哈密頓量、機械功 重要理论 牛頓運動定律、虎克定律 牛頓萬有引力定律 简谐振动、達朗伯特原理 歐拉方程式、哈密頓原理 拉格朗日方程式 最小作用量原理 科學家 克卜勒、牛頓、歐拉 達朗貝爾、哈密頓、赫茲 拉格朗日、拉普拉斯 伽利略、雅可比、諾特

在經典力學裏，力偶(couple)是一種只有合力矩（所有力矩的總合），沒有合力的作用力系統。作用於剛體，力偶能夠改變其旋轉運動，同時保持其平移運動不變。力偶不會給予剛體質心任何加速度。

力偶所產生的力矩稱為力偶矩。請不要將這一術語與平常的力矩混淆。力偶矩是一種特別的力矩，是自由向量，不需要參考點。

簡單力偶

最簡單的力偶是由兩個大小相同、方向相反、作用線相異的作用力組成，又稱為簡單力偶。與作用力同線的直線稱為這作用力的作用線。作用於物體，力偶會給與物體一種旋轉效應或力偶矩。採用国际单位制，力偶的單位是牛頓$\cdot$公尺。

假設施加於一物體的兩個作用線相異的作用力分別為 $\mathbf{F}\,$ 、$- \mathbf{F}\,$ ，則其力偶矩 $\tau\,$ 的大小，以方程式表達為

$\tau = F d \,$ ；

其中，$d\,$ 是兩個作用力之間的垂直距離。

力偶矩 $\boldsymbol{\tau}\,$ 的方向垂直於包含這力偶的平面。

假設，兩個大小相等，方向相反的作用力 $\mathbf{F}_1\,$ 與 $\mathbf{F}_2\,$ ， 分別施加於一個物體的位置 $\mathbf{r}_1\,$ 與 $\mathbf{r}_2\,$ ，則合力等於零：

$\mathbf{F}_1+\mathbf{F}_2=0\,$ ，

而所產生的力矩 $\mathbf{M}\,$ 以方程式表達為

$\mathbf{M}=\mathbf{r}_{1} \times\mathbf{F}_1+\mathbf{r}_{2} \times\mathbf{F}_2 =\mathbf{r}_{12} \times\mathbf{F}_1 \,$ ；

其中，$\mathbf{r}_{12}=\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2\,$ 是兩個位置 $\mathbf{r}_1\,$ 與 $\mathbf{r}_2\,$ 之間的相對位置。

特別注意，由於 $\mathbf{r}_{12}\,$ 是相對位置，不隨參考點的改變而改變，從物體上任何參考點觀測的力偶矩 $\mathbf{M}\,$ 都相等。因此，立偶矩是個自由向量，作用於物體的任何一點，效果都一樣。

力偶矩與參考點無關

在計算作用力的力矩時，必須先選擇某參考點P，然後才能計算作用力對於參考點P的力矩。通常，假設參考點P的位置改變了，力矩也會改變。但是，力偶的力偶矩獨立於參考點P，對於任意參考點，力偶矩都相同。換句話說，力偶矩是一個自由向量。這理論稱為伐里農第二力矩定理(Varignon's Second Moment Theorem)。

證明：

假設分別施加於位置 $\mathbf{r}_1\,$ 、$\mathbf{r}_2\,$ 的作用力 $\mathbf{F}_1\,$ 、$\mathbf{F}_2\,$ ，共同形成一個力偶，則這兩個作用力的合力為

$\mathbf{F}_1 + \mathbf{F}_2=0\,$ ，

這兩個作用力對於原點O的力矩 $\mathbf{M}_O\,$ 為

$\mathbf{M}_O= \mathbf{r}_1\times \mathbf{F}_1 + \mathbf{r}_2\times \mathbf{F}_2\,$ 。

設定參考點P的位置為 $\mathbf{r}\,$ 。作用力 $\mathbf{F}_1\,$ 、$\mathbf{F}_2\,$ 對於點P的力矩 $\mathbf{M}_P\,$ 為

$\mathbf{M}_P= (\mathbf{r}_1 - \mathbf{r})\times \mathbf{F}_1 + (\mathbf{r}_2 - \mathbf{r})\times \mathbf{F}_2= \mathbf{r}_1\times \mathbf{F}_1 + \mathbf{r}_2\times \mathbf{F}_2 - \mathbf{r}\times(\mathbf{F}_1 + \mathbf{F}_2)=\mathbf{r}_1\times \mathbf{F}_1 + \mathbf{r}_2\times \mathbf{F}_2\,$ 。

所以，力偶矩與參考點無關：

$\mathbf{M}_P=\mathbf{M}_O\,$ 。

應用

在機械工程學裏，力偶是個很有用的概念。以下列出幾個實例：

• 當用手扭轉螺絲起子時，螺絲起子會感受到力偶。
• 當用螺絲起子扭轉螺絲釘時，螺絲釘會感受到力偶。
• 一個在水裏旋轉的螺旋槳推進器，會感受到由水阻力產生的力偶。
• 在一個均勻電場裏，電偶極子會感受到電場的力偶。