加伯轉換

加伯轉換是窗函數為高斯函數的短時距傅立葉變換。

數學定義

將短時距傅立葉變換中的窗函數代入高斯函數，即可得下面的定義。

$G_x(t,f)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\pi (\tau-t)^2} e^{-j2 \pi f \tau}x(\tau)\, d\tau$

根據高斯函數會從兩側遞減的性質，我們可以將上式進一步化簡：

$\because \begin{cases} \ e^{-\pi a^2} 1.9143 \\ \ e^{-a^2 /2} 4.7985 \end{cases}$

$\therefore \begin{cases} \ G_x(t,f) \simeq \int_{t-1.9143}^{t+1.9143}e^{-\pi (\tau-t)^2} e^{-j2 \pi f \tau}x(\tau)\, d\tau \\ \ G_x(t,\omega) \simeq \sqrt{\frac{1}{2\pi}}\int_{t-4.7985}^{t+4.7985}e^{-\frac{(\tau-t)^2}{2}} e^{-j\omega (\tau-t/2)}x(\tau)\, d\tau \end{cases}$

讓積分範圍不是無限大，有利於實作。

為何選擇高斯函數作為窗函數

1. 其他窗函數的短時距傅立葉變換，如短時距傅立葉變換提到的方形窗函數，無法同時兼顧時間軸和頻率軸的解析度；一者解析度提升，另一者解析度必定下降。但高斯函數由海森堡測不準原理可得知，是最能同時讓兩軸兼顧解析度的窗函數(將於下個章節詳述)。
2. 高斯函數為傅立葉轉換的特徵函數，因此經過轉換後其性質不變。因此可讓加伯轉換後在時間軸和頻率軸的性質相互對稱。

由測不準原理了解高斯函數的性質

上述提到，高斯函數是最能兼顧時間與頻率解析度的窗函數。我們利用這個章節來詳細討論。

• 海森堡測不準原理:

對於一個信號 $x(t)$，當$|t|-> \infty$，若$\sqrt{t} x(t)=0$，則

$\sigma_t \sigma_f \ge 1/4 \pi \,$

其中 $\sigma_t^2 = \frac{\int t^2 |x(t)|^2 dt}{\int |x(t)|^2 dt}, \sigma_f^2 = \frac{\int f^2 |X(f)|^2 df}{\int |X(f)|^2 df} \,$

由於兩者變異數相乘有下限，這個定理說明了我們沒有辦法同時精準量測時間和頻率，其中一者變異數下降(解析度上升)，另一者變異數就上升(解析度下降)。

加伯轉換後的結果，橫軸是時間(秒)，縱軸是頻率(赫茲)

• 當信號$x(t)$為高斯函數時

$x(t) = e^{\pi t^2}, X(f)= e^{-\pi f^2}$

$\because \sigma_t^2 =\sigma_f^2 =\frac{\int t^2 |x(t)|^2 dt}{\int |x(t)|^2 dt} = \frac{\Gamma(3/2)}{\Gamma(1/2)} \frac{1}{2\pi}=\frac{1}{4\pi}$

$\therefore \sigma_t \sigma_f = \frac{1}{4\pi}$

即高斯函數滿足測不準定理的最下限，所以是窗函數中能使時間和頻率兩者解析度都達到最高的函數。

• 以下提供一個簡單的例子來做模擬，

$x(t)=\begin{cases} \cos(2 \pi t); & t < 10 \\ \cos(6 \pi t); & 10 \leq t < 20 \end{cases}$

右圖為即加伯轉換的結果，可以看出其時間和頻率都維持相當程度的解析度。

加伯轉換的一般化

由於高斯窗函數的寬度可以由其變異數做調整，因此我們將這個參數加入加伯轉換的數學式子中，讓轉換更加彈性。 $G_x(t,f)=\sqrt[4]{\sigma} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\sigma \pi (\tau-t)^2} e^{-j2 \pi f\tau}x(\tau)d\tau$

改變高斯函數的寬度，和改變方形窗函數短時距傅立葉變換的效果類似。若選取較大的$\sigma$，高斯窗函數較窄，則時間軸有較高的解析度，頻率軸的解析度會下降。反之，若選取較小的$\sigma$，高斯窗函數較寬，則時間的解析度下降，頻率軸的解析度會上升。雖然還是有兩軸之間的解析度的犧牲，但比起其他無法滿足測不準原理下限的窗函數，加伯轉換的兩軸還是能相對維持較高的解析度。

特性

加伯轉換的大部分的特性和方形窗函數短時距傅立葉轉換的特性都相似，有些特性甚至更加接近傅立葉轉換的特性。

• 積分特性

當$k \ne 0, \int_{-\infty}^{\infty}G_x(t,f) e^{j2 \pi ktf} \, df = e^{-\pi (k-1)^2 t^2}x(kt)$

當$k = 0, \int_{-\infty}^{\infty}G_x(t,f) \, df = e^{-\pi t^2}x(0)$

當$k = 1, \int_{-\infty}^{\infty}G_x(t,f) e^{j2 \pi tf} \, df = x(t)$ (還原成原始信號)

• 位移特性

若$y(t)=x(t-t_0) \,$，則$G_y(t,f)=G_x(t-t_0,f)e^{-j2 \pi ft_0} \,$

• 調變特性

若$y(t)=x(t)e^{j2 \pi f_0 t} \,$，則$G_y(t,f)=G_x(t,f-f_0) \,$

• 線性特性

若有一信號$h(t)=\alpha x(t)+\beta y(t) \,$，$G_h(t,f), G_x(t,f), G_y(t,f) \,$分別為$h(t),x(t),y(t) \,$做加伯轉換的結果，則$G_h(t,f)=\alpha G_x(t,f)+\beta G_y(t,f) \,$。

• 能量積分特性

$\int_{-\infty}^{\infty} |G_x(t, f)|^2\, df = \int_{-\infty}^{\infty} |x(\tau)|^2\,d\tau \simeq \int_{u-1.9143}^{u+1.9143}e^{-2\pi (\tau-u)^2}|x(\tau)|^2\, d\tau$

$\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} G_x(t,f)G_y^*(t,f)\,dfdt = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)y^*(\tau)\,d\tau$

• 特殊信號

1. 當$x(t) =\delta(t) \,$，$G_x(t,f)= e^{-\pi t^2}$

2. 當$x(t) = 1 \,$，$G_x(t,f)=e^{j2\pi ft} e^{\pi f^2} \,$

和方形窗函數短時傅立葉轉換不同的是，加伯轉換的結果對於時間和頻率軸較對稱，也比較沒有旁波(sidelobe)；也印證了上述所說的，加伯轉換較能維持兩個軸的解析度。

優缺點

• 優點: 時頻圖較清晰
• 缺點: 計算複雜度比方形窗函數短時傅立葉變換來的高，因為需做窗函數內與信號本身的乘法。

參考書目、資料來源

1. Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class notes, the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2011.
2. Alan V. Oppenheim, Ronald W. Schafer, John R. Buck : Discrete-Time Signal Processing, Prentice Hall, ISBN 0-13-754920-2
3. S. Qian and D. Chen, Joint Time-Frequency Analysis: Methods and Applications, Chap. 5, Prentice Hall, N.J., 1996.