加伯 韋格納轉換

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加伯 韋格納轉換Gabor Wigner Transform)是一種時頻分析的工具,由加伯轉換(Gabor Transfrom)及韋格納轉換(Wigner Transform)兩種時頻分析工具所組合而成,是由S.C Pie和J.J.Ding於2007年提出。

加伯-韋格納轉換顯著的改善了韋格納轉換的cross-term問題,同時也比加伯轉換有更好的清晰度(clarity),但同時,卻付出了更高的實作複雜度(complexity)的代價。

數理定義[编辑]

  • 加伯 韋格納轉換
主要定義:
  1. D_x(t,f)=G_x(t,f)\times W_x(t,f)

其中G_x(t,f), W_x(t,f)分別代表加伯轉換以及韋格納轉換的函數型式,定義如下:

  1.  : G_x(t,f) = \int_{-\infty}^\infty e^{-\pi(\tau-t)^2}e^{-j2\pi f\tau}x(\tau) \, d\tau
  2.  : W_x(t,f)=\int_{-\infty}^\infty x(t+\tau/2)x^*(t-\tau/2)e^{-j2\pi\tau\,f} \, d\tau
推廣定義:
  1. D_x(t,f)=\min\left\{|G_x(t,f)|^2,|W_x(t,f)|\right\}
  2. D_x(t,f)=W_x(t,f)\times \{|G_x(t,f)|>0.25\}
  3. D_x(t,f)=G_x^{2.6}(t,f)W_x^{0.7}(t,f)


特性[编辑]

不會有cross-term問題[编辑]

cross-term問題主要發生在韋格納轉換(W_x(t,f))的過程中,因韋格納轉換並非線性,當被轉換函式x(t)有超過兩個物件(component)或其因次(order)超過三,就有可能在時間-頻率關係圖中產生干擾(distortion),導致Cross-Talk的產生。 考慮函式x(t)=ag(t)+bs(t) 根據定義:

     W_x(t,f)=\int_{-\infty}^\infty x(t+\tau/2)x^*(t-\tau/2)e^{-j2\pi\tau\,f} \, d\tau

帶入函式x(t)=ag(t)+bs(t)

    W_x(t,f)=\int_{-\infty}^\infty [ag(t+\tau/2)+bs(t+\tau/2)] [a^*g(t-\tau/2)+b^*s(t+\tau/2)]e^{-j2\pi\tau\,f} \, d\tau
    W_x(t,f)=|a^2|*W_g(t,f)+|b^2|*W_s(t,f)+\int_{-\infty}^\infty [ab^*g(t+\tau/2)s^*(t-\tau/2)+a^*bg^*(t-\tau/2)s(t+\tau/2)]e^{-j2\pi\tau\,f} \, d\tau

式子後面的積分項即為cross-term,其將影響時頻分析的表現(performance)。加伯 韋格納轉換利用線性的加伯轉換對於韋格納轉換做乘積,將cross-term消掉,因此不會有cross-term問題,這對於濾波器設計的應用來說非常的重要。

在某些情況下比加伯轉換擁有更好的清晰度[编辑]

加伯轉換(G(t,f))在一些輸入函式x(t)之下會有模糊(blur)的問題,考慮當被轉換函式: x(t)=e^{jat^2+jbt}的情況。 韋格納轉換在這種情況會有比加伯轉換要好的表現,在加伯-韋格納轉換中,利用韋格納的轉換的特性去加強加伯轉換的清晰度不足的問題。

應用[编辑]

加伯 韋格納轉換在圖像處裡(image processing)、濾波器設計(filter design)、信號取樣(sampling)、信號調變(modulation)解調變(demodulation)、語音處理及生醫工程上都有很好的表現。

濾波器設計[编辑]

濾波器設計的目標是希望移除信號中我們不需要的部分,並盡量保留所需要的部分,利用加伯 韋格納轉換,我們可以將原本在時域頻率域上的濾波器同時考慮,即為一種時頻分析。其主要想法如下表示。
Filter fractional.jpg

信號調變[编辑]

調變的目的是想將信號放入一段特定時間或一段特定頻段中,利用加伯 韋格納轉換,我們能同時考慮在信號的時間和頻率上面如何放入更多或更適合的信號型式(pattern),且因沒有cross-term問題的關係,會比韋格納轉換有更好的表現,
Mul mod.jpg
由上圖圖(WDF)一,也能發現當使用韋格納轉換(WDF),其產生的cross-term會對調變造成很嚴重的影響。

參考[编辑]

  • Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform lecture note, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2012.
  • S. C. Pei and J. J. Ding, “Relations between Gabor transforms and fractional Fourier transforms and their applications for signal processing,” IEEE Trans.Signal Processing, vol. 55, no. 10, pp. 4839-4850, Oct. 2007.