加托導數

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数学上,加托导数(英文: Gâteaux derivative)是微分学中的方向导数的概念的推广。它以勒內·加托命名,他是一位法国数学家,年青时便死于第一次世界大战。它定义于局部凸拓扑向量空间上,可以和巴拿赫空间上的弗雷歇导数作对比。二者都经常用于形式化泛函导数的概念,常见于變分法物理学,特别是量子场论。和其他形式的导数不同,加托导数是非线性的。

定义[编辑]

假设 XY局部凸拓扑向量空间,(例如巴拿赫空间),U\subset X 是開集合(open set),且  F:X\rightarrow YF 在點 u\in U 沿着 \psi\in X 方向的加托偏微分(Gâteaux differential) dF(u,\psi) 定义为


dF(u,\psi)=\lim_{\tau\rightarrow 0}\frac{F(u+\tau \psi)-F(u)}{\tau}=\left.\frac{d}{d\tau}F(u+\tau \psi)\right|_{\tau=0}

如果极限存在。固定 udF(u,\psi) 对于所有 \psi \in X 都存在,则称 Fu\in U 是加托可微(Gâteaux differentiable )。若 Fu 是加托可微,稱 dF(u, \cdot) 為在 u 的加托導數。

F 是在 U连续可微的

dF:U\times X \rightarrow Y

连续的。

属性[编辑]

若加托导数存在,则其为唯一。

对于每个u\in U,加托导数是一个算子dF:X\rightarrow Y.。 该算子是齐次的,使得

dF(u,\alpha\psi)=\alpha dF(u,\psi)\,,但是它通常不是可加的,并且,因此而不总是线性的,不像Fréchet导数

例子[编辑]

X 为一个在欧几里得空间 \mathbb{R}^n 勒贝格可测集 \Omega 上的平方可积函数希尔伯特空间,也就是說 X=\{u:\Omega\mapsto \mathbb{R}\mid  \int_\Omega u^2<\infty,\,\, \Omega\subseteq \mathbb{R}^n 是勒貝格可測集 \}。泛函 E:X\rightarrow \mathbb{R}

 E(u)=\int_\Omega F\left( u(x) \right)dx

给出,其中 F 是一个定義在實數上的可微值函数且 F'=f\,u 為定義在 \Omega 的實數值函數,则加托导数为


dE(u,\psi)=(f(u),\psi),\quad\quad(f(u),\psi) 這符號代表 \int_\Omega f(u(x))\psi(x) \,dx\,.

更詳細的說:


\frac{E(u+\tau\psi) - E(u)}{\tau} = \frac{1}{\tau} \left( \int_\Omega F(u+\tau\psi)dx - \int_\Omega F(u)dx \right)

\quad\quad =\frac{1}{\tau} \left( \int_\Omega\int_0^1 \frac{d}{ds} F(u+s\tau\psi) \,ds\,dx \right)

\quad \quad =\int_\Omega\int_0^1 f(u+s\tau\psi)\psi \,ds\,dx.

\tau\rightarrow 0 (并假设所有积分有定义),得到加托导数

dE(u,\psi)=\int_\Omega f(u(x))\psi(x) \,dx,

也就是,内积(f(u),\psi).\,

参看[编辑]

参考[编辑]