加托導數

数学上，加托导数是微分学中的方向导数的概念的推广。它以勒內·加托命名，他是一位法国数学家，年青时便死于第一次世界大战。它定义于局部凸的拓扑向量空间上，可以和巴拿赫空间上的弗雷歇导数作对比。二者都经常用于形式化泛函导数的概念，常见于物理学，特别是量子场论。和其他形式的导数不同，加托导数是非线性的。

定义

假设$X$和$Y$是局部凸拓扑向量空间，（例如巴拿赫空间），$U\subset X$开，且

$F:X\rightarrow Y.$

$F$在$u\in U$点沿着$\psi\in X$方向的加托导数$dF(u,\psi)$定义为

$dF(u,\psi)=\lim_{\tau\rightarrow 0}\frac{F(u+\tau \psi)-F(u)}{\tau}=\left.\frac{d}{d\tau}F(u+\tau \psi)\right|_{\tau=0}$

如果极限存在。若极限对于所有$\psi \in X$存在，则称$F$在$u\in U$有加托导数。

称$F$是在$U$中连续可微的若

$dF:U\times X \rightarrow Y$

是连续的。

属性

若加托导数存在，则其为唯一。

对于每个$u\in U$，加托导数是一个算子$dF:X\rightarrow Y.$。 该算子是齐次的，使得

$dF(u,\alpha\psi)=\alpha dF(u,\psi)\,$，但是它通常不是可加的，并且，因此而不总是线性的，不像Fréchet导数。

例子

令$X$为一个在欧几里得空间R^N中的勒贝格可测集$\Omega$上的平方可积函数的希尔伯特空间。泛函

$E:X\rightarrow \mathbb{R}$

由

$E(u)=\int_\Omega F\left( u(x) \right)dx$

给出，其中$F$是一个实变量的实值函数且$F'=f\,$而$u$定义在$\Omega$上取实值，则加托导数为

$dE(u,\psi)=(f(u),\psi)\,.$

实际上，

$\frac{E(u+\tau\psi) - E(u)}{\tau} = \frac{1}{\tau} \left( \int_\Omega F(u+\tau\psi)dx - \int_\Omega F(u)dx \right)$

$\quad\quad =\frac{1}{\tau} \left( \int_\Omega\int_0^1 \frac{d}{ds} F(u+s\tau\psi) \,ds\,dx \right)$

$\quad \quad =\int_\Omega\int_0^1 f(u+s\tau\psi)\psi \,ds\,dx.$

令$\tau\rightarrow 0$ (并假设所有积分有定义)，得到加托导数

$\int_\Omega f(u(x))\psi(x) \,dx,$

也就是，内积$(f(u),\psi).\,$

参看

• 导数 (推广)

参考

• R Gâteaux. Sur les fonctionnelles continues et les fonctionnelles analytiques. Comptes rendus de l'academie des sciences, Paris, Vol. 157 (1913).