加法逆元

對於一個數n，n和其加法逆元（或稱相反數）之和是加法單位（即零）。

對於n加法逆元表示為-n。

例：7的加法逆元是-7。-0.3的加法逆元是0.3。

一般定義

設「+」為一個交換性的二元運算，即對於所有x,y，x+y=y+x。若該集內存在一個元素0，使得對於所有x，x+0=0+x=x，則此元素是唯一的。如果對於一個給定的x，存在一個x'使得x+x'=x'+x=0，則稱x'是x的加法逆元。

特殊情況

定義

若「+」符合結合律，則任意數的加法逆元是唯一的。

證明

反證法： 設$x$有兩個相異的加法逆元$x_1$、$x_2$
有$x = x + 0$ 的關係。
而從定義$0 = x + x_1 = x + x_2$
所以$x + x_1 = x + x_2$
得出$x_1 = x_2$
矛盾，QED。

例

• 向量空間：純量乘法-1
• 歐幾里得空間：以原點為中心的反演變換