加速度

在這篇文章內，向量與标量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 $\mathbf{r}\,\!$ 表示；而其大小則用 $r\,\!$ 來表示。

跳过字词转换说明

加速度是物理学中的一个物理量，是一个矢量，主要应用于经典物理当中，一般用字母$\mathbf{a}\,\!$表示，在国际单位制中的单位为米每二次方秒（$\mathrm{m/s^2}\,\!$）。加速度是速度矢量关于时间的变化率，描述速度的方向和大小变化的快慢。

加速度由力引起，在经典力学中因为牛顿第二定律而成为一个非常重要的物理量。在惯性参考系中的某个参考系的加速度在该参考系中表现为惯性力。加速度也与多种效应直接或间接相关，比如电磁辐射。

在本页面中会多次用到“质点”这一物理概念。简单地说，当被研究的运动物体的大小和形状不对实验造成影响或影响很小时，可以把这个物体抽象成一个有质量但不存在大小、形状的点。是一个理想化的物理模型。

简述

感受加速度是如何作用于运动的物体的：某物体受到持续的、向上向下相间的力（箭头表示），那个箭头也可以等量地表示加速度。看看这个物体是如何运动的。

简单地说，速度描述了位置是如何变化的，则加速度描述了速度是如何变化的。比如，水平地向前扔出一个物体，起初它的速度朝向正前，然而由於重力它开始在向前的同时向下坠落，即其速度改变了。这里改变物体速度的主要是地球的重力引起的重力加速度。

加速度具有矢量性质，即需要用大小和方向同时描述一个加速度。在光滑水平面上向前运动的物体，如果向左或向右施以力，即给予了不同的加速度，则其速度会发生变化，然而向左的加速度和向右的加速度显然引起了不同的效果。同样，施力的大小不同，引起的加速度不同，最终的结果也不一样。作为一个矢量，加速度的叠加和分解分别遵循平行四边形法则和三角形法则。

稍微准确点说，加速度描述的是速度随时间的变化率。需要注意的是，由于速度也是矢量，因此加速度不为零的物体速度的大小（称之为速率）也不一定会发生变化，实际上，如果加速度保持与速度垂直，速度大小就一直不会改变，同时方向一直改变。这种情况在生活中最常见的是圆周运动，比如在被拴在一端固定的线的另一端的一个小物体在线保持绷直时做的运动，又比如带电粒子在仅受静磁场的洛伦兹力$\mathbf{F} = q \mathbf{v} \times \mathbf{B}\,\!$时做的运动。

直线运动中的平均加速度 瞬时加速度

设质点A在数轴上运动，$t\,\!$时刻位于$x(t)\,\!$处，经过$\Delta t\,\!$时间后位于$x(t + \Delta t)\,\!$处，则定义质点A在$t\,\!$时刻的瞬时速度（简称速度）为

$v(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{x(t + \Delta t) - x(t)}{\Delta t} = \frac{dx}{dt}\,.$

其中，$\frac{dx}{dt}\,\!$表示对位移关于时间求一阶导数，在时间-位移图上表现为求斜率。

首先，定义$t\,\!$时刻到$t+\Delta t\,\!$时刻之间的平均加速度为

$\bar{a} = \frac{v(t + \Delta t) - v(t)}{\Delta t} \,.$

平均加速度粗略地表示了在该段时间内物体速度的变化情况。如果$\Delta t\,\!$越小，该段时间内速度的波动就越小，描述的速度变化情况也就越精细，从而定义质点A在$t\,\!$时刻的瞬时加速度为

三个质点从坐标原点以相同的速度出发，由于分别拥有正、零、负的加速度而导致其位置和关于时间的曲线。

$a(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{v(t + \Delta t) - v(t)}{\Delta t} = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2 x}{dt^2}\,.$

瞬时加速度，简称加速度。进而有

$v(t) = \int_{t}^{t_0} a(t)\, dt + v(t_0)\,.$

在直线运动时，矢量退化为带符号的标量，其绝对值表示该物理量的大小。速度为正表示向右，速度为负表示向左。加速度与速度方向相同（即符号相同）时表示物体不断加速，不同则表示物体不断减速。

右图画出了三个质点在$t=0\,\!$从坐标原点以相同的速度$v_0\,\!$出发，由于分别拥有正、零、负的加速度而导致其位置$x\,\!$关于时间的曲线。可以将其想象为在光滑桌面上，三个木块以相同初速度，沿斜面向下、沿水平面、沿斜面向上滑行。

在位移-时间图上，加速度由曲线的凹凸性表示，加速度为正的部分表现为凸函数，反之为凹函数。

空间曲线运动中的加速度

用两次差分表示如何从位移矢量近似地得到加速度矢量。

设质点A在空间中运动，原点O指向A的矢量$\mathbf{r}\,\!$为其矢径，则可类似定义其速度矢量和加速度矢量为

$\mathbf{v}(t) = \frac{d\mathbf{r}(t)}{dt}\,.$

$\mathbf{a}(t) = \frac{d\mathbf{v}(t)}{dt}=\frac{d^2 \mathbf{r}(t)}{dt^2}\,.$

右图表现的是一个质点沿一曲线运动的轨迹，表示出了两次微分的过程，为了清晰，这里使用差分（$\Delta t\,\!$并不趋于0）近似代替了微分，因此表现的是平均速度和平均加速度。可以看出，加速度与速度都具有方向和大小，并且即使在同一时刻两者方向也不一定相同。加速度与速度方向平行的分量表示速度大小的变化率（相同则加速，相反则减速），而与速度垂直的分量表示速度方向的变化率（速度矢量转动的角速度）。

在$\Delta t\,\!$足够小时，可以将那一小段曲线运动（称作元弧）近似看作直线运动或圆周运动。

加速度的伽利略变换

在经典物理下，即速度远小于光速、研究宏观物体时，可以使用伽利略变换来研究不同参考系间的加速度的联系：

$\mathbf{a}=\mathbf{a}'+\mathbf{a_{S_1}}\,.$

其中，$\mathbf{a}\,\!$为物体在原参考系下的加速度（小球相对于车的加速度），$\mathbf{a}'\,\!$为物体在参考系$S_1\,\!$下的加速度，$\mathbf{a_{S_1}}\,\!$为参考系$S_1\,\!$在原参考系下的加速度。考虑站在地上看车上的人抛出一个小球，这个公式表达：小球相对于地的加速度，等于小球相对于车的加速度加上车相对于地的加速度。这个式子是矢量表达式，即三个加速度不在同一条直线时，使用矢量加法成立。

加速度与牛顿第二定律

加速度最主要的应用之一是牛顿第二定律。简单地说，牛顿第二定律表明，物体的加速度与其受合力成正比，与质量成反比，方向沿合力方向，在国际单位制中表示为

$\mathbf{F}=m\mathbf{a}\,.$

其中$\mathbf{F}\,\!$表示物体所受合外力，$m\,\!$为物体质量，$\mathbf{a}\,\!$为物体的加速度。

牛顿第二定律同样仅在经典物理下适用。此外，牛顿第二定律要求所处参考系为惯性参考系。 由于经典物理的研究几乎都会或多或少地涉及到物体在力的作用下的运动，又由于牛顿第二定律和伽利略变换的极度简洁性，使得牛顿第二定律成为了物体受力分析和运动状况之间的桥梁。

惯性力

牛顿第二定律要求两个参考系都为惯性系，为了使该定律与处在非惯性系中的人的观测结果相符合，需要在等式左边额外添加一些有力量纲的物理量，它们被称作惯性力。比如，参考系之间的恒定加速度引起了平移惯性力

$\mathbf{F}_{Ine}=-m\mathbf{a}\,.$

其中$\mathbf{a}\,$为参考系间的相对加速度。加速度不恒定时，会出现各种其它的情况，公式也与上述不尽然，如离心力，科里奥利力，欧拉力。

惯性力在生活中其实很常见，如匀速行驶的汽车急刹车，则所有乘客都会向前一倾，便是平移惯性力的结果。

关于加加速度

将位移关于时间进行一阶求导得到了速度，二阶求导得到了加速度。可能会想到，可以通过进行三阶求导来得到一个诸如加加速度的物理量。加加速度又叫急动度。由于加速度的主要应用在于其后续理论——牛顿第二定律上，因此在经典物理中加加速度并没有得到很多应用，在需要用高阶导数时也趋向于直接将其表示为微分的形式。加加速度的应用现在主要在混沌理论方面。

角加速度

角加速度主要是在定轴转动的物体上使用，例如，想象一个圆盘和一个垂直插在其中心木棍相固定，两只手握住木棍并转动的情景（与之相对应的是在地上高速旋转的陀螺，绕定点任意转动）。在圆盘上做一个标记（如一条半径），则定轴转动的物体可以简单地用一个标量（即一个数）物理量，该物体转动的角度（也即该标记转动的角度）来描述。

从这种特性可以联想到直线运动，因为直线运动也只需要一个标量物理量来描述。因此两种模型在数学上可以类比：位移、速度、加速度，分别对应角度、角速度、角加速度，可以将直线运动中已有的定律和方法直接带入，例如，使用已有的匀加速直线运动理论来研究匀加速定轴转动。

角加速度常用字母$\beta$表示，在国际单位制中的单位为弧度每二次方秒（$\mathrm{rad/s^2}$）。其定义式为

$\beta(t)=\frac{d \omega(t)}{dt} =\frac{d^2 \theta(t)}{dt^2}\,.$

其中，$\omega(t)$为物体角速度，$\theta(t)$为物体转过的角度。

加速度的分解

处理关于空间加速度矢量的问题，除了直接计算矢量之外，更多的时候可以将加速度按照适当坐标轴分解，即将矢量形式的加速度表示为相互独立的不同方向上的标量的形式。因为标量的计算要容易很多，因此这是解决问题常用的方法。

按坐标系分解

平面直角坐标系

在平面直角坐标系中，

$\mathbf{a}(t)=a_x(t)\mathbf{i}+a_y(t)\mathbf{j}$

其中$\mathbf{i}, \mathbf{j} \,\!$分别为x、y坐标轴上的单位矢量，皆为常矢量。

这种分解方式的优点在于，形式简便，思维简单；因为单位矢量不会变化，故质点在三个方向上的投影等价于直线运动，并将其叠加，使得问题完全化为代数问题，并且可以直接使用直线运动的已有结论。

极坐标系

在平面的极坐标系中，质点的位置由它到极点的连线长度（半径）$r$和已知极轴到该半径的角坐标$\theta$（单位为弧度）共同描述，在某一点处的两个单位矢量分别为沿半径向外的$\mathbf{e}_r$和垂直于半径指向角坐标正方向的$\mathbf{e}_\theta$。

点击显示极坐标系分解的推导。

容易发现，两个单位矢量会随质点所处位置不同而变化，并可通过分析得出结论，在质点运动的时候

$d\mathbf{e}_r=d\theta \cdot \mathbf{e}_\theta\,.$

$d\mathbf{e}_\theta=-d\theta \cdot \mathbf{e}_r\,.$

其中$d\mathbf{e}_r\,\!$代表经过一个小量$dt\,\!$时间该矢量的变化，$d\theta \cdot \mathbf{e}_\theta\,\!$代表一个大小为$d\theta\,\!$（角位移的变化）沿$\mathbf{e}_\theta\,\!$方向的矢量，以此类推。右图表现了这个微分的过程。

再加上微分的莱布尼兹法则$\frac{d(a \cdot b)}{dc}=a \cdot \frac{db}{dc}+b \cdot \frac{da}{dc}\,\!$，在极坐标系下

$\begin{align} \mathbf{v} & =\frac{d(r \cdot \mathbf{e}_r)}{dt} \\ & =\frac{d(r \cdot \mathbf{e}_r)}{dt} \\ & = r \frac{d\theta}{dt} \cdot \mathbf{e}_\theta + \frac{dr}{dt} \mathbf{e}_r \\ \end{align}\,.$

$\begin{align} \mathbf{a} & =\frac{d \mathbf{v}}{dt} \\ & = \frac{d\left( r \frac{d\theta}{dt} \cdot \mathbf{e}_\theta \right) }{dt} + \frac{d \left( \frac{dr}{dt} \mathbf{e}_r \right) }{dt} \\ & = r \frac{d\theta}{dt} \frac{d\mathbf{e}_\theta}{dt}+ r \frac{d^2 \theta}{dt^2} \cdot \mathbf{e}_\theta + \frac{dr}{dt} \frac{d\theta}{dt} \cdot \mathbf{e}_\theta + \frac{d^2 r}{dt^2} \cdot \mathbf{e}_r + \frac{dr}{dt} \frac{d \mathbf{e}_r}{dt} \\ \end{align}\,.$

最后经过简单的合并，可以得出，在极坐标系中

$\mathbf{a} =\left[ \frac{d^2 r}{dt^2}- r \left( \frac{d\theta}{dt} \right) ^2 \right] \mathbf{e}_r + \left( 2 \frac{dr}{dt} \frac{d\theta}{dt} + r \frac{d^2 \theta}{dt^2} \right) \mathbf{e}_\theta\,.$

按自然坐标系分解

加速度按自然坐标系分解

平面自然坐标系（或本性坐标系）的一个坐标轴正方向（$t\,$轴或$\tau\,$轴）保持与质点前进方向平行相同，另一个坐标轴（$c\,$轴）正方向平行指向其轨迹曲率中心方向。分解按右图。

简单地说，切向方向表示速度大小的变化量，法向方向表示速度方向的变化速度，即

$a_t = \frac{dv}{dt}\,$

$a_c = \frac{v^2}{\rho}\,.$

其中，$\rho\,$为此时刻的曲率半径。

按功能分解

匀速圆周运动 向心加速度

在匀速圆周运动中，速度大小不改变，方向不停改变，需要保持垂直于其的加速度来改变方向。

若质点以不变的速率（速度大小）沿一个圆周沿同一方向运动，则质点作匀速圆周运动。

点击显示向心加速度的推导。

如右图，某一时刻质点速度为$\mathbf{v}_1\,$，极短时间$dt\,$过后，质点沿圆周前行，速度变成$\mathbf{v}_2\,$。因为是匀速圆周运动，速度的大小保持为$v\,$，但方向会保持与圆相切（垂直于半径$r\,$），不断改变。关注图的左上部分，当$\beta$使用弧度值时，速度的改变量量$d\mathbf{v}\,$在$d\beta\,$极小时近似于$vd\beta\,$，方向大约沿半径向里，则该段时间内的平均加速度大小为

$a = \frac{v\cdot d\beta}{dt} = v \cdot \omega \,$

以上“近似”在$dt \to 0\,$时精确成立。又因为

$v = \omega \cdot r \,$

得出

在匀速圆周运动中，质点具有向心加速度$\mathbf{a}_n$，其方向保持沿半径方向向里（因此不断变化），大小为

$\begin{align} a_n & = \omega^2 \cdot r \\ & = \frac{v^2}{r} \\ \end{align}\,.$

以上也可以从极坐标系分解中，代入与匀速圆周运动相关的特殊值得到。更一般的情况下（不是匀速圆周运动），以矢量来表示，

$\mathbf{a}_n = \mathbf{\omega} \times (\mathbf{\omega} \times \mathbf{r})\,.$

在矢量式中，令沿半径向外为正。在平面的情况下，该矢量式退化为上述标量式，这时会得到一个负号。

假设，用一根绳子，一端系上一个小物体（比如钥匙），一端握在手中，大致保持手不动而水平旋转，则会清晰地感受到绳子的拉力，该拉力在绳子的另一端提供了小物体的向心加速度。当转得越快，拉力会越大，可以定性地验证上述等式公式。

从这个实验，可以看出，向心加速度总是使物体趋向于向外运动：如果没有绳子，小物体一定会飞出去的。另一个例子是，在游乐场的巨大的旋转圆盘上，大部分人都站不稳，总是会向外摔倒。由于这个原因，这种向心加速度得不到力支持时，在非惯性系中被“甩”出去的惯性力被称作离心力，人们以这个原理制成了离心机。

虽然以上公式是从匀速圆周运动得来的，然而它实际上可以应用于各种圆周运动、甚至任意曲线运动，只是上述的$v\,$和$\omega\,$应理解为该时刻的瞬时物理量，$r\,$应以曲率半径$\rho\,$替代，表示的是物体的加速度在垂直于路径方向的分量。

科里奥利效应

当在一对相对匀速转动的参考系之间观察同一物体的时候，就会出现“科里奥利效应”，通常表现为科里奥利力或者科里奥利加速度的形式。它们以法国科学家古斯塔夫·科里奥利的名字命名。

举个简单的例子，想象一个巨大的圆盘正在地上绕其圆心匀速旋转，在圆盘上沿半径方向有一个直导轨，一个物体被限制在导轨上运动，从圆心匀速向外运动；然而，站在地上的人看到的却不是一条直线，而是一条弧形或者螺旋形路线。同时，为了做到这一点，轨道的背向旋转方向的一侧也一定会给物体一个压力。

若气流向某个北半球的点聚集，则会在地转偏向力的作用下形成一个逆时针气旋。

又比如说，在地上看起来匀速沿半径方向圆心运动的一个物体，在固定在圆盘上的一个人看来一定不是直线，也会是弧形。

粗略地说，这种在一个参考系中作直线运动，再另一个参考系中却拥有了加速度的效应，被称作科里奥利效应，这个加速度被称作科里奥利加速度，而这个使得物体改变轨道的力被称作科里奥利力。科里奥利力的实质是一个惯性力。其公式如下：

$\mathbf{a}_{cor} = 2 \mathbf{\omega}\times\mathbf{v}\,.$

$\mathbf{F}_{cor} = 2 m \mathbf{v}\times\mathbf{\omega}\,.$

其中$\mathbf{a}_{cor}\,$为科里奥利加速度，$\mathbf{\omega}\,$为第二个参考系在前一个参考系中的角速度矢量，$\mathbf{v}\,$为物体在第一个参考系中的速度矢量，两者作矢量叉乘。在上述圆盘的情况下可以将所有物理量理解为大小，从而将外积简化为普通乘法，加速度方向为速度以角速度方向旋转90°。

科里奥利效应最大的应用在于气象学方面，这时它被称作地转偏向力，是形成热带气旋的主要因素。本来直线行驶的气流因为地球的旋转而（在地面看起来）带上了向侧面的加速度， 其中这个“侧面”在北半球总是向顺时针，而南半球总是逆时针——从而使得，如果有某个因素使得气流向某个点聚集，或从某个点散开，它会因为地转偏向力而慢慢变成漩涡形气旋。

欧拉力

当两个参考系间非匀速转动的时候，则需要再添加一种加速度分量。这个分量通常表示为惯性力形式，称作欧拉力。

想象在地上绕圆心转动的巨大圆盘，在非圆心位置固定一个物体。圆盘越转越快，分析物体的受力（或者加速度）：一是半径方向的向心加速度，尽管它在不断增大；二则是圆盘越转越快时让物体在切向方向运动更快的欧拉力。

欧拉加速度的一般公式为

$\mathbf{a}_{Euler} = - \frac{d\mathbf{\omega}}{dt} \times \mathbf{r} = - \mathbf{\beta} \times \mathbf{r}\,$

表示欧拉加速度等于参考系的角加速度矢量叉乘该物体的矢径。故欧拉力为

$\mathbf{F}_{Euler}= m \mathbf{a}_{Euler} = - m \frac{d\mathbf{\omega}}{dt} \times \mathbf{r} \,$

几种特殊的运动

以下为几种特殊的运动，因为在不同的模型下质点常被不同地近似处理，并且可以得出的结论较之上面的积分式常能极大地简省计算量，故有研究的价值。

匀速直线运动

若某质点保持加速度$a=0\,\!$，则其速度$\mathbf{v}\,\!$的大小和方向不会变化，质点将保持在同一直线上以同一速率（速度大小）运动，这种运动被称作匀速直线运动。特殊地，若速度$v=0\,\!$，则质点静止。

匀速直线运动主要出现在牛顿第一定律中，该定律表示：“不受任何力或受合力为零的物体作匀速直线运动。”由于自然界中大部分力的随距离增大而减小，故离所有其它物体足够远的某一物体的运动能够在足够的精度下被近似为匀速直线运动。这种近似常被用于寻找惯性参考系和粒子物理学的运算当中。

匀变速直线运动

位于乔治亚州的六旗主题公园的自由落体机，从高达数十米的地方由静止释放，长长的途中几乎只受到重力，近似为自由落体运动，使得乘客落到地面附近时拥有极高的速度。

若某作质点作直线运动并保持加速度$a\,\!$恒定，则质点作匀变速直线运动。在这种情况下，若$t=0\,\!$时刻速度为$v_0\,\!$，$t\,\!$时刻速度为$v(t)\,\!$，位移为$s(x)\,\!$，则可由上面积分式得出

$v(t)=v_0+a t\,.$

$\begin{align} s(t) & =v_0t +\frac{1}{2} a t^2 \\ & = \frac{v(t)+v_0}{2} t \\ \end{align} \,.$

以及得出

$a=\frac{v(t)^2-v^2_0}{2s(t)}\,.$

自由落体运动 重力加速度

自由落体运动是指初速度为0，加速度恒为竖直向下 的重力加速度g的运动，在地球上大约有$g=9.8\mathrm{m\cdot s^{-2}}$ 。自由落体运动是匀变速直线运动的一种特殊情况。自由落体运动是将地球上的物体下落的状况进行理想化的抽象模型，当物体在地面附近，且所受空气阻力远小于其重力时，在一定精度内可被视作自由落体运动。

加速度恒定的运动

加速度是一个矢量，因此“加速度恒定”暗示加速度的大小和方向都不随时间变化。

一个从左向右被抛出的篮球是如何在重力下运动的（抛体运动）。相邻两个球影之间有相同的时间间隔。

当加速度$\mathbf{a}\,$与速度$\mathbf{v}\,$不在同一条直线上时，选取适当的坐标系，可以将其按照平面直角坐标系分解，使质点的运动在其中一个坐标轴上的投影为匀速直线运动，另一个方向上为匀变速直线运动。根据独立作用原理，两者的合运动（即质点的轨迹）为一条抛物线的一部分。

抛体运动

抛体运动具体包括平抛运动和斜（上、下）抛运动，和自由落体运动类似，它是在地球上向不同方向抛出的物体在忽略空气阻力的情况下的运动状况进行理想化的抽象模型。物体拥有一个非竖直方向的不为零初速度$\mathbf{v_0}\,\!$，和竖直向下、大小恒定为重力加速度g的加速度，落地前的轨迹为一条抛物线的一部分。这也正是抛物线名字的由来。

简谐运动

再一个例子是简谐运动，即质点在正弦或余弦函数形式下的一维运动，一般形式为

$x = A \cos (\omega t + \phi_0) \,.$

其中，$A\,$为振幅，$\omega\,$为角频率，$\phi_0\,$为初相位。将其对时间求导后可得出

$v = - A\omega \sin (\omega t + \phi_0) \,$

$a = - A\omega^2 \cos (\omega t + \phi_0) \,.$

由此也可以得出一些有趣的结论，如在任一时刻，

$a = - x\omega^2 \,$

$A^2 = \left( \frac{a}{\omega^2} \right) ^2 + \left( \frac{v}{\omega} \right)^2 \,$

加速度的应用

加速度与经典力学

在经典力学中，加速度最多地表现在牛顿第二定律中，与之密切相关的还有加速度的伽利略变换。相关的内容在上文都已经有所提及。

加速度与电磁辐射

加速度的另一个重要应用之处是带电粒子的电磁辐射（即手机和收音机使用所需要的信号来源）。通过对麦克斯韦方程组的研究，可以将带电粒子产生电磁辐射的规律概括性地定性总结为：带电粒子的加速度产生电磁辐射，并且电磁辐射的强度和加速度大小正相关。 电磁辐射常见于用带电粒子的碰撞实验中。这类实验的一个早期著名例子是卢瑟福用电子碰撞金箔的实验，这个实验导致了对原子结构的深入探索。而这类实验至今广泛见于在各种大型对撞机中，带电粒子以很高的速度运动，经受撞击后变慢、静止甚至反弹回来，这个过程中显然速度发生剧烈改变，一定经受了加速度不为零的过程，也一定会放出辐射。这样产生的辐射被称为轫致辐射。

加速度产生电磁辐射的另一个很典型的例子是回旋加速器（回旋辐射）。带电粒子在回旋加速器中作圆周运动，每半圈加速一次，同时运动半径增大从而形成螺旋轨道，最后以很高的速度射出。圆周运动需要向心加速度来维持，当速度相当高（与光速可比拟时，这时因为相对论效应而需使用同步回旋加速器）时，加速度太大以至于因为电磁辐射损失的能量过多，导致回旋加速器实际对粒子的加速作用有上限。然而这样产生的光能量高，频率稳定且可控，并且集中在一个很小的锥角里（相对论效应导致的前灯效应），因此是很好的大型物理用光源。这样的装置被称作光子工厂。

狭义相对论中的加速度

狭义相对论用于速度可以和光速相比拟时的运动，并且要求参考系是惯性系。在狭义相对论中，加速度的定义没有改变。然而，由于在狭义相对论中，不同的参考系有不同的时间和空间度量标准，即当前参考系中的加速度为当前参考系中的位移对当前参考系中的时间的二阶导数，因此在参考系变换（洛伦兹变换）时变得复杂很多。

设有两个参考系$S\,\!$、$S'\,\!$，在空间直角坐标系中，三个坐标轴相对应平行，在$t=t'=0\,\!$时刻两坐标系原点对齐，在$S\,\!$中$S'\,\!$以速率$v\,\!$沿x正方向运动。

点击显示加速度的洛伦兹变换的一个十分概要的推导。需要运用到微分的知识。

同一事件$P(x,y,z,t)\,\!$、$P'(x',y',z',t')\,\!$在两个参考系中的坐标转换如下：

$\begin{cases} x = \gamma(x' - vt) \\ y = y' \\ z = z' \\ t = \gamma(t' - \cfrac{v}{c^2}\,x') \\ \end{cases} \,$ .

其中，單撇符號 $'\,\!$ 标示该物理量是在 $S'\,\!$下的测量，$\gamma=1/\sqrt{1-v^2/c^2}\,\!$ 是勞侖茲因子，用$\left( u_x , u_y , u_z \right) \,\!$表示一质点的速度，$\left( a_x , a_y , a_z \right) \,\!$表示其加速度。表示定义式如下

$\begin{cases} \cfrac{dx}{dt}=u_x \\ \cfrac{du_x}{dt}=a_x \end{cases} \,$ .

y、z方向的定义式与之类似。综合该定义式，利用坐标转换的t部分，将坐标转换的x、y、z连续两次进行一阶求导。

通过展开，可以得到

$\begin{cases} a_x = \cfrac{a'_x}{\gamma^3\left(1 + vu'_x/c^2\right)^3}\, \\ a_y =\cfrac{1}{\gamma^2}\left( \cfrac{a'_y}{\left(1 + vu'_x/c^2\right)^2}\, - \cfrac{(vu'_y/c^2)a'_x}{\left(1 + vu'_x/c^2\right)^3}\right)\, \\ a_z =\cfrac{1}{\gamma^2}\left( \cfrac{a'_z}{\left(1 + vu'_x/c^2\right)^2}\, - \cfrac{(vu'_z/c^2)a'_x}{\left(1 + vu'_x/c^2\right)^3}\right)\, \\ \end{cases} \,$ .

其中，$\gamma=1/\sqrt{1-v^2/c^2}\,\!$ 是勞侖茲因子

可以看出，在狭义相对论中，加速度的变换公式冗长而复杂，各分量的公式也极不相似。再加上如果要考虑到力，虽然$\mathbf{F}=m\mathbf{a}$仍然成立，但质量也会变得随参考系的不同而不同。以上原因导致加速度在牛顿力学中那种因为简洁而具有的优越性，在狭义相对论中不复存在。

除此之外，你也可以使用四维矢量的形式。

加速度在广义相对论和量子力学中

假想实验：站在两种封闭电梯厢中两个人，无法分辨球的加速度是由惯性力还是真正的引力施加的。

在广义相对论中和在量子力学中，更多地是从能量、动量等的角度出发（类似于分析力学），而很少会像牛顿第二定律一样涉及到单一的力；实际上，即使在需要表示出“位移的二阶导数”这一个量的时候，会趋向于直接使用$\ddot x \,$，等价于$\frac{d^2 x}{dx^2}$，来求解微分方程。因此，加速度作为一个被特别提出的物理量，在进一步的理论中已经很少被用到。

运用到加速度的其中一个例子是等效原理，简单地说，它叙述了观测者不能在局部的区域内分辨出由加速度所产生的惯性力或由物体所产生的引力。比如，观测者站在地球上静止的电梯厢中向前方抛球，球会向下坠落，是因为地球的引力；而在远离任何星体的宇宙中的一个电梯厢，在以重力加速度$g$向上（定义观测者踩到的地面为下）加速运动时，观测者抛出一个球，仍然会向“下”坠落，是因为惯性力。作为在封闭电梯厢中的观测者无法分辨这两种情况，爱因斯坦据此提出，引力与惯性力等价。等效原理是广义相对论中的支柱性原理之一。

参见

• 牛顿第二定律
• 运动学
• 惯性力
• 速度
• 加加速度
• 导数

参考资料

• 赵凯华，罗蔚茵. 《新概念物理教程·力学（第二版）》. 北京: 高等教育出版社. 2004. ISBN 7-04-015201-0. 

• 郑永令，贾起民，方小敏. 《力学（第二版）》. 北京: 高等教育出版社. 2002. ISBN 978-6-04-011084-5. 

• 赵凯华，陈熙谋. 《新概念物理教程·电磁学》. 北京: 高等教育出版社. 2003. ISBN 7-04-011693-6. 

• 郭硕鸿. 《电动力学（第二版）》. 北京: 高等教育出版社. 1997. ISBN 7-04-005550-3.