势的比较

在數學裡，一個有限集的元素個數是一個自然數，其大小標誌着該集合裡元素的多寡。比較無窮集裡元素的多寡之方法，可在集合論裡用集合的等勢和某人的勢比別人大這兩個概念來達到目的。

• 注意：在某些語境下（尤其是本文），勢的概念只用於比較兩個無窮集的元素多寡，而不能直接指稱某集合的「元素個數」。要達到後一目的，可以使用基數的概念。
• 在一般語境下，尤其是儅一切都定義好了以後，也經常使用勢作爲基數的同義詞。

集合比較

設A和B為集合。稱它們等勢，指的是存在A到B一個雙射f，即A中的元素可以與B中的元素一一對應起來。例子：集合A={1,2,3}與B={蘋果,馬,園丁} 等勢，這是因為「1→蘋果, 2→馬, 3→園丁」是兩個集合之間的一一對應. 不過在這個例子中, 不用等勢的概念也知道它們的元素不多不少, 是3個。對於無窮集可舉一個例子如下：正偶數集合E={2,4,6,...}和自然數集合N={1,2,3,...}等勢，這是因為由公式f(n)=2n所決定的函數f:N→E是一個由N到E的雙射。

等勢的概念只能說明兩個(有限或無限)集合的元素是否「一樣多」的問題。那麼以下說明集合A的元素是否比集合B多。稱「集合A的勢不小於集合B的勢」，是指存在一個由B到A的單射，（即一對一的映射，但不一定映滿）。稱「集合A的勢大於集合B的勢」，是指A的勢不小於B的勢，但A和B不等勢，即存在一由B到A的單射，但它們之間不存在一一對應。例如，實數集合R的勢絕對大於自然數集合N的勢，因為內含映射i : N → R 是單射的，且可證明不存在一由N到R的雙射函數。

可數與不可數集合

假設選擇公理成立，三分法就會成立於所有的勢中，所以可以有以下的定義。

• 任何勢少於自然數的集合稱為有限集合。
• 任何勢和自然數一樣的集合稱為可數無限集合。
• 任何勢大於自然數的集合稱為不可數集合。

基數

注意，到目前為止，我們只定義了勢在函數內的作用：我們沒有真正地定義一個集合的勢為其自身具體的物件。現在將略述此一處理方法。

有相同勢的關係稱做等勢，而這是一種在所有集合的類上的等價關係。一集合A在此關係的等價類包含所有和A等勢的集合。然後，接下來可以有兩種定義「一集合的勢」的處理方式。

1. 一集合A的勢被定義成在等勢下的等價類。
2. 明述出等價類中一特定類的表示。最一般的選擇是馮·諾伊曼基數指派。它通常被取為公理集合論中基數的定義。

集合$S$的勢標記為$|S|$。 其冪集的勢則標記為$2^{|S|}$。

無限集合的勢標記為$\aleph_0 < \aleph_1 < \aleph_2 < ...$(對每一個序數$\alpha$，$\aleph_{\alpha+1}$是第一個大於$\aleph_\alpha$的勢)。

自然數的勢標記為$\aleph_0$，而實數的勢則被標記為$\mathbf{c}$。可以證明$\mathbf{c}=2^{\aleph_0} > {\aleph_0}$。(請看對角論證法)。連續統假設說道不存在介於實數的勢和自然數的勢之間的基數，亦即$\mathbf{c}=\aleph_1$。

例子和其他性質

• 集合$X$ = {a, b, c}與集合$Y$ = {苹果, 橘子, 桃子}有同樣的勢，因為它們都有三個元素。

• 若對於兩個集合$X$和$Y$有$|X|$ ≤ $|Y|$，則存在一$Y$的子集$Z$使得$|X| = |Z|$。

這一性質使得兩個或更多的集合元素個數的比較不需要憑藉一中介集合(即自然數)。

• 在不可數集合的領域內，存在一由$|Y| = \mathbf{c}$的集合$Y$所組成的類。這類的集合稱做連續勢。

• 可以證明不存在一集合$X$，使得對任一集合$Y$，$|Y|$ ≤ $|X|$。

證明. 設存在此一集合$X$。然後讓$Y$為$X$的冪集，$|Y|=2^{|X|}$，結果矛盾$|Y|>|X|$出現了。

另見

• 基數
• 連續統假設
• 艾禮富數