勒壤得轉換

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xy-圖展示出函數 f(x)\,\! 的勒壤得轉換。函數用紅色表示，在切點 (x_0,\ f(x_0))\,\! 的切線用藍色表示。切線與 y-軸相交於點 (0,\ - f^*)\,\! ；這裏，f^*\,\! 是勒壤得轉換 f^*(p_0)\,\! 的值，p_0=\dot{f}(x_0)\,\! 。特別注意，穿過在紅線上任何其它點，而擁有同樣斜率 \dot{f}(x_0)\,\! 的直線，其與 y-軸相交點必定比點 (0,\ - f^*)\,\! 高，證明 f^*\,\! 確實是極大值。

勒壤得轉換（Legendre transformation或Legendre transform）。為一個在數學物理中常見的技巧。在物理中應用在熱力學與古典力學中。

目录

概述 [编辑]

為了研究一個系統內部蘊藏的數學結構，我們會將表述此系統的函數關係 f(x)\,\! 改用一個新函數 f^{\star}(p)\,\! 來表示，其變數 p\,\! 是 f(x)\,\! 的導數，p=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}\,\! 。而 f^{\star}(p)\,\! 的值是如右圖藍線在 y 軸的截距

換句話說，從(x,f(x))\,\! x 值到 y 值的函數，轉換成(p,f^{\star}(p))\,\! f(x) 在 x 點的導數到在 x 點切線 y 截距的函數

這程序是由阿德里安-馬裡·勒壤得所發明的，因此稱為勒壤得轉換。稱函數 f^{\star}(p)\,\! 為 f(x)\,\! 的勒壤得轉換；

用方程式表示

f^\star(p) = pu-f(u) | _{{\mathrm{d} [ pu-f(u) ] \over \mathrm{d}u} = 0} \,\! 。

此式子表示 f^\star(p) = pu-f(u) 中的 u 對 f^\star(p) 而言是個參數，且參數 u 會滿足 {{\mathrm{d} [ pu-f(u) ] \over \mathrm{d}u} = 0} \,\! 的 u。即求算表達式關於變數 u\,\! 的極值。


為方便討論，把討論限定在 f(x)為嚴格單調遞增。會有這方程式是因為在 p=f'(x_0) 也就是斜率不變的狀況下，對每個x_0而言，所有與曲線(u,f(u))相交且斜率為f'(x_0)的直線族為 y = f'(x_0) (x-u)+f(u)\,\!。若令 u = x_0 ，該直線即是f(x)在x_0的切線方程式。把x當作常數並由右圖直接觀察可知，在u = x_0的情況下，y = f'(x_0) (x-u)+f(u) = f'(x_0) x-[f'(x_0) u-f(u)]值是最小的，也就是說直線方程式中[f'(x_0) u-f(u)]這部分是最大的，而正好 f^\star(p) = pu-f(u) | _{{\mathrm{d} [ pu-f(u) ] \over \mathrm{d}u} = 0} \,\!，正是原方程式所求的極值。

勒壤得轉換是點與線之間對偶性關係（duality）的一個應用。函數 f(x)\,\! 設定的函數關係可以用 (x,\ y=f(x))\,\! 點集合來表示；也可以用切線(在嚴格單調遞增的討論下，切線跟導數p有一對一的關係)集合表示。


若將勒壤得轉換廣義化，則會變為勒壤得-芬伽轉換（Legendre-Fenchel transformation）。勒壤得轉換時常用於熱力學與哈密頓力學。

定義 [编辑]

最大值式定義 [编辑]

更詳細地定義勒壤得轉換，為了求得 L(x,\ p)=px - f(x)\,\! 關於 x\,\! 的最大值，設定 L(x,\ p)\,\! 關於 x\,\! 的偏導數為零：

\frac{\partial}{\partial x} \left(px-f(x) \right) = p-{\mathrm{d}f(x) \over \mathrm{d}x} = 0\,\! 。

則

p = {\mathrm{d}f(x) \over \mathrm{d}x}\,\! 。(1)

這表達式必為最大值。因為，凸函數 L(x,\ p)\,\! 的二阶导数是負數：

\frac{\partial^2}{\partial x^2}(xp-f(x)) = -{\mathrm{d}^2f(x) \over \mathrm{d}x^2} < 0\,\! ；

用方程式 (1) 來計算函數 f\,\! 的反函數 x=g(p)\,\! 。代入 L(x,\ p)\,\! 方程式，即可以得到我們想要的形式：

f^\star(p)=g(p)\ p - f(g(p))\,\! 。

計算 f(x)\,\! 的勒壤得轉換，所需的步驟為：

  1. 找出导函數 p = \frac{df }{dx}\,\! ，
  2. 計算导函數 p = \frac{df }{dx}\,\! 的反函數 x=g(p)\,\! ，
  3. 代入 F(x)\,\! 方程式來求得新函數 f^\star(p)=g(p)\ p - f(g(p))\,\! 。

這定義切確地闡明：勒壤得轉換製造出一個新函數 f^\star(p)\,\! ；其新自變數為 p = {df \over dx}\,\! 。

反函數式定義 [编辑]

另外一種勒壤得轉換的定義是：假若兩個函數 f(x)\,\! 與 f^\star(p)\,\! 的一階導數是互相的反函數；

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x)=\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}p}f^*\right)^{ - 1}(x)\,\! ，

或者，

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}p}f^*(p)=\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f\right)^{ - 1}(p)\,\! ，

則 f\,\! 與 f^\star\,\! 互相為彼此的勒壤得轉換。

依照定義，

{\mathrm{d}f(x) \over \mathrm{d}x}=p\,\! ，
{\mathrm{d}f^\star(p) \over \mathrm{d}p}=x\,\! 。

思考下述運算：

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}p}(xp - f(x))=x+p\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}p} - \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}p}=x={\mathrm{d}f^\star(p) \over \mathrm{d}p}=x\,\! 。

所以，

f^\star(p)=xp - f(x)=g(p)\ p - f(g(p))\,\! ；

這裏，x=g(p)\,\! 。

這答案是標準答案；但並不是唯一的答案。設定

f^\star(p)=f(x) - xp\,\! ，

也可以滿足定義的要求。在某些情況下（例如：熱力勢（thermodynamic potential），會採用非標準的答案。除非另外註明，此頁面一律採用標準答案。

數學性質 [编辑]

以下討論，函數 f\,\! 的勒壤得轉換皆標記為 f^\star\,\! 。

標度性質 [编辑]

勒壤得轉換有以下這些標度性質：

f(x)=a \cdot g(x)\rightarrow f^\star(p) = a \cdot g^\star\left(\frac{p}{a}\right) \,\! ，
f(x) = g(a \cdot x)\rightarrow f^\star(p) = g^\star\left(\frac{p}{a}\right) \,\! ，

由此可知，一個 r\,\! 次齊次函數的勒壤得轉換是一個 s\,\! 次齊次函數；這裏，

\frac{1}{r}+\frac{1}{s}=1\,\! 。

平移性質 [编辑]

f(x) = g(x) + b\rightarrow f^\star(p) = g^\star(p) - b\,\! ，
f(x) = g(x + y)\rightarrow f^\star(p) = g^\star(p) - p \cdot y\,\! 。

反演性質 [编辑]

f(x) = g^{-1}(x)\rightarrow f^\star(p) = - p \cdot g^\star\left(\frac{1}{p}\right) \,\! 。

線形變換性質 [编辑]

讓 A\,\! 成為一個從 R^n\,\! 到 R^m\,\! 的線形變換。對於任何定義域為 R^n\,\! 的凸函數 f\,\! ，必有

\left(A f\right)^\star = f^\star A^\star \,\! ；

這裏，A^\star\,\! 是 A\,\! 的伴隨算子定義為

\left \langle Ax, y^\star \right \rangle = \left \langle x, A^\star y^\star \right \rangle \,\! 。

應用 [编辑]

熱力學 [编辑]

在熱力學裏，使用勒壤得轉換主要的目的是，將一個函數與其所相依的一個自變數，轉換為一個新函數與其所相依的一個新自變數，（此新自變數是舊函數對於舊自變數的偏導數）；將舊函數減去新自變數與舊自變數的乘積，得到的差就是新函數。勒壤得轉換可以用來在各種熱力勢（thermodynamic potential）之間作轉換。例如，內能 U\,\! 是可延量（extensive variables）熵 S\,\! ，體積 V\,\! ，與化學組成（chemical composition）N_i\,\! 的顯函數

U = U(S,\ V,\ \{N_i\})\,\! 。

對於 - PV\,\! ，函數 U\,\! （非標準的）勒壤得轉換為焓函數 H\,\! ：

H(S,\ P,\ \{N_i\})= U + PV\,\! ，
P= - \left( \frac{\partial U}{\partial V}\right)_{S,\ \{N_i\}}\,\! 。

一個熵與內在量（intensive variables）壓力的函數。當壓力是常數時，這函數很有用。

對於 TS\,\! ，函數 H\,\! 勒壤得轉換為吉布斯自由能函數 G\,\! :

G(T,\ P,\ \{N_i\}) = H - TS\,\! ，
T=\left( \frac{\partial H}{\partial S}\right)_{P,\ \{N_i\}}\,\! 。

對於 TS\,\! ，函數 U\,\! 勒壤得轉換為亥姆霍兹自由能函數 A\,\! :

A(T,\ V,\ \{N_i\}) = U - TS\,\! ，
T=\left( \frac{\partial U}{\partial S}\right)_{V,\ \{N_i\}}\,\! 。

這些自由能函數時常用在常溫的物理系統。

古典力學(哈密頓力學) [编辑]

在經典力學裏，勒壤得轉換專門用來從拉格朗日表述導引出哈密頓表述，或反導之。拉格朗日量 \mathcal{L}\,\! 是廣義坐標 \mathbf{q}=(q_1,\ q_2,\ \dots,\ q_N)\,\! 與廣義速度 \dot{\mathbf{q}}\,\! 的函數；而哈密頓量 \mathcal{H}\,\! 將函數的相依轉移為廣義坐標 \mathbf{q}\,\! 與廣義動量 \mathbf{p}=(p_1,\ p_2,\ \dots,\ p_N)\,\! ：

\mathbf{p}=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\mathbf{q}}}\,\! ，
\mathcal{H}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t)=\mathbf{p}\cdot\dot{\mathbf{q}} - \mathcal{L}(\mathbf{q},\ \dot{\mathbf{q}}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t),\ t)\,\! 。

正則變換 [编辑]

正則變換廣泛地應用勒壤得轉換在其理論裏。正則變換是一種正則坐標的改變，(\mathbf{q},\ \mathbf{p}) \rightarrow (\mathbf{Q},\ \mathbf{P})\,\!\,\! ，而同時維持哈密頓方程式的形式，雖然哈密頓量可能會改變。正則變換的方程式為

\frac{\partial \mathcal{K}}{\partial \mathbf{P}}=\dot{\mathbf{Q}}\,\!\,\! ，
\frac{\partial \mathcal{K}}{\partial \mathbf{Q}}= - \dot{\mathbf{P}}\,\!\,\! ，
\mathbf{p}\cdot\dot{\mathbf{q}} - \mathcal{H}= \mathbf{P}\cdot\dot{\mathbf{Q}} - \mathcal{K}+\frac{dG}{dt}\,\! ；

這裏，\mathbf{q},\ \mathbf{p}\,\! 是舊正則坐標，\mathbf{Q},\ \mathbf{P}\,\! 是新正則坐標，\mathcal{H}\,\! 是舊哈密頓量，\mathcal{K}\,\! 是新哈密頓量，G\,\! 是生成函數。

參閱 [编辑]

參考文獻 [编辑]

  • Arnold, Vladimir. Mathematical Methods of Classical Mechanics (second edition). Springer. 1989. ISBN 0-387-96890-3. 
  • Rockafellar, Ralph Tyrell. Convex Analysis. Princeton University Press. 1996. ISBN 0-691-01586-4. 
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