勒文海姆–斯科伦定理

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数理逻辑中,经典 Löwenheim–Skolem 定理声称对于标识(signature)为 <\mathbf{C}, \mathbf{F}, \mathbf{R}, \sigma> 的任何可数一阶语言 LL-结构 M,存在一个可数无限基本子结构 N \subseteq M。这个定理的自然和有用的推论是所有一致的 L-理论都有可数的模型。

这里的标识由常量集合 \mathbf{C}、函数集合 \mathbf{F}、关系符号集合 \mathbf{R}、和表示函数和关系符号的元数的函数 \sigma: \mathbf{F} \cup \mathbf{R} \rightarrow \mathbb{N} 组成。在这个上下文中 L-结构,由底层集合(经常指示为“M”)和 L 的常量、函数和关系符号的释义组成。L 的常量在 M 中的释义简单的是函数 \mathbf{C} \rightarrow M。类似的,\sigma(f) \ -元函数 f \in \mathbf{F} 被指派为 M 中的 \sigma(f) \ -元函数 M^{\sigma(f)} \rightarrow M 的图,而\sigma(R) \ -元关系 R \in \mathbf{R} 的释义被指派为 M 中的 \sigma(R) \ -元关系。语言 L 是可数的,如果在 L 中的常量、函数和关系符号是可数的。

这个定理得名于 Leopold LöwenheimThoralf Skolem

例子[编辑]

一个周知的不可数模型是所有实数的集合,带有次序关系 "<" 作为唯一的关系,和加法与乘法作为函数。有序域的公理是一阶句子;最小上界公理不是一阶的而是二阶的。这个定理蕴涵了实数域的某个可数无限的子域,因此不同于实数域,但满足了实数域所满足的所有一阶句子。(作为可数的有序域,它不能满足最小上界公理)。例如,特定多项式方程有解(在这个模型中)的断言是一阶句子,因此在断言了其存在的可数子模型中是真的,当且仅当它在实数域中是真的。

数学家考虑的多数数学结构,特别是多数范畴的多数成员,是这里定义意义上的模型。Löwenheim–Skolem 定理告诉我们如果它们是不可数的,它们不能被任何一阶句子的集合唯一性的选取出来。

证明梗概[编辑]

对于在模型 M 中为真的如下形式的一阶句子

\forall x\  \exists y\  R(x,y)

\forall x_1\ \cdots\ \forall x_n\ \exists y_1\ \cdots\ \exists y_m R(x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_m)

有一个Skolem 函数 f,就是说映射 x 到断言了其存在的 y 的函数,使得

\forall x\ R(x,f(x))

M 中为真。因为有很多这样的 y 的值,必须启用选择公理来推出 Skolem 函数的存在。

这个模型的某些成员可以直接用一阶公式来定义,就是说,它们的存在被如下形式的句子所断言

\exists y_1\ \cdots\ \exists y_m R(y_1,\dots,y_m)

并且因为只有可数多个一阶公式,只有可数多个成员可以用这种方式直接定义。

证明的想法是: 开始于这个模型的所有一阶可定义成员的集合,并接着在所有 Skolem 函数下闭合它。这个闭包必定最多是可数无限的。这个模型的子集是这个定理断言了其存在的子模型。

更一般的 "Löwenheim–Skolem 定理"[编辑]

上述定理假定了有限或可数无限的语言。更一般的 Löwenheim-Skolem 定理做其他有关基数的假定。类似于这个经典定理的某些定理,断言更小的子模型的存在(“向下” Löwenheim-Skolem 定理);其他一些断言更大基数的模型的存在(“向上” Löwenheim-Skolem 定理)。

勒文海姆-斯科伦定理在一阶逻辑中的定义和证明[编辑]

勒文海姆-斯科伦定理: 如果 \Delta 是一个含有有限可数个数的命题组成的集合,并且集合 \Delta可以满足的(\Delta SAT),那么至少存在一个模型(或叫作指派,或叫作解释(Interpretation)) 用符号记作 I,  I \models \Delta ,且这个模型 I 指派解释也是可数的

证明:

前提:在语言集合L中如果我们有一个可满足式的有限可数命题公式的集合 \Delta,且\phi \in \Delta,\phi\Delta中的命题公式
如果我们有一个集合,用字母记作 S ,并且 S = \bigcup_{\phi \in \Delta} CL(\phi) ,其中集合 CL(\phi)是由命题公式\phi转换成子句结构(Clause)所组成的集合,我们有一个定理(记作Th): 如果\psi是可满足式的(Satisfaisable)公式,当且仅当Clause(\psi)也是可满足式的,通过这个定理,我们确保S是可满足的,并且也是可数的
如果我们有一个基于语言集合L的等价公理集合,记作 E_= (该集合是为了用于Skolemisation方法中,也就是\phi在转化成Clause(\phi)过程中,去除有限量词\exist的方法Skolemisation,化为Skolem范式)
那么很显然  S\bigcup E_= 也是可满式的集合,那么 IF( S\bigcup E_=) 同样是可满足的
由于语言集合L中的元素是可数的 所以IF( S\bigcup E_=) 是也是有限可数的集合
如果我们有一个模型,记作 I 且  I \models IF( S\bigcup E_=),赫尔不兰特定理(Theoreme de Herbrand)告诉我们如果我们要构造一个模型M,并且 M \models S\bigcup E_=,那么模型M的模型解释指派域(记作)D是一个以I(t)为元素的指派域(其中t是在S中的所有的项),那么模型M是通过Congurence关系来解释指派等价性关系(Egalite)
由于我们说语言理合L是可数的,那么指派解释域D也是可数的
那么我们可以构造另一个模型M',并且基于解释域 D/M_=(我们通过等价关系来指派解释等价性)且M'\models S,那么M'必然也是可数的,那么根据Th定理,M'\models S ,那么我们就可以说 M'\models \Delta
所以我们证明了勒文海姆-斯科伦定理

引用[编辑]

  • Wilfrid Hodges (1997), "A Shorter Model Theory", Cambridge University Press, ISBN 0521587131
  • María Manzano (1999), "Model Theory", Oxford University Press, ISBN 0198538510
  • Rothmaler, Philipp (2000), "Introduction To Model Theory", CRC

参见[编辑]