# 勒让德多项式

$(1 - x^2 )\frac{{d^2 P(x)}}{{dx^2 }} - 2x\frac{{dP(x)}}{{dx}} + n(n + 1)P(x) = 0.$

${d \over dx} \left[ (1-x^2) {d \over dx} P(x) \right] + n(n+1)P(x) = 0.$

$P_n(x) = {1 \over 2^n n!} {d^n \over dx^n } \left[ (x^2 -1)^n \right].$

## 正交性

$\int_{-1}^{1} P_m(x) P_n(x)\,dx = {2 \over {2n + 1}} \delta_{mn}$

${d \over dx} \left[ (1-x^2) {d \over dx} P(x) \right] = -\lambda P(x),$

## 部分实例

 n $P_n(x)\,$ 0 $1\,$ 1 $x\,$ 2 $\begin{matrix}\frac12\end{matrix} (3x^2-1) \,$ 3 $\begin{matrix}\frac12\end{matrix} (5x^3-3x) \,$ 4 $\begin{matrix}\frac18\end{matrix} (35x^4-30x^2+3)\,$ 5 $\begin{matrix}\frac18\end{matrix} (63x^5-70x^3+15x)\,$ 6 $\begin{matrix}\frac1{16}\end{matrix} (231x^6-315x^4+105x^2-5)\,$ 7 $\begin{matrix}\frac1{16}\end{matrix} (429x^7-693x^5+315x^3-35x)\,$ 8 $\begin{matrix}\frac1{128}\end{matrix} (6435x^8-12012x^6+6930x^4-1260x^2+35)\,$ 9 $\begin{matrix}\frac1{128}\end{matrix} (12155x^9-25740x^7+18018x^5-4620x^3+315x)\,$ 10 $\begin{matrix}\frac1{256}\end{matrix} (46189x^{10} - 109395x^8+90090x^6-30030x^4+3465x^2-63)\,$

## 在物理学中的应用

$\frac{1}{\left| \mathbf{x} -\mathbf{x}^\prime \right|} = \frac{1}{\sqrt{r^2+r^{\prime 2} - 2rr'\cos\gamma}} = \sum_{\ell=0}^{\infty} \frac{r^{\prime \ell}}{r^{\ell+1}} P_{\ell}(\cos \gamma)$

$\Phi(r,\theta)=\sum_{\ell=0}^{\infty} \left[ A_\ell r^\ell + B_\ell r^{-(\ell+1)} \right] P_\ell(\cos\theta).$

## 其他性质

### 奇偶性

$P_k(-x) = (-1)^k P_k(x). \,$

### 递推关系

$(n+1) P_{n+1} = (2n+1) x P_n - n P_{n-1}\,$

${x^2-1 \over n} {d \over dx} P_n = xP_n - P_{n-1}.$
$(2n+1) P_n = {d \over dx} \left[ P_{n+1} - P_{n-1} \right].$

#include<iostream>

using namespace std;

int main()

{

float n,x;

float polya(float ,float );

cin>>x>>n; //输入时加上小数位 如： n为1 输入：1.0

cout<<polya(n,x)<<endl;

return 0;

}

float polya(float n,float x)

{

if(n==0) return 1.0;

else if(1==n) return x;

else return ( (2.0*n-1.0)*x*polya(n-1.0,x) - (n-1.0)*polya(n-2.0,x) )/n;

}

## 移位勒让德多项式

$\int_{0}^{1} \tilde{P_m}(x) \tilde{P_n}(x)\,dx = {1 \over {2n + 1}} \delta_{mn}.$

$\tilde{P_n}(x)=(-1)^n \sum_{k=0}^n {n \choose k} {n+k \choose k} (-x)^k.$

$\tilde{P_n}(x) = ( n!)^{-1} {d^n \over dx^n } \left[ (x^2 -x)^n \right].\,$

 n $\tilde{P_n}(x)$ 0 1 1 $2x-1$ 2 $6x^2-6x+1$ 3 $20x^3-30x^2+12x-1$

## 参考文献

1. ^ 严镇军编，《数学物理方程》，第二版，中国科学技术大学出版社，合肥，2002，ISBN 7-312-00799-6/O·177，第140页
• 2. Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. (1965). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover. ISBN 0-486-61272-4（参见 第8章第22章