# 勒让德符号

## 定义

 $\left(\frac{a}{p}\right) = \begin{cases}\quad 0\\ +1 \\ -1\end{cases}$ $\quad$ 如果$a \equiv 0 \pmod{p}$ 如果$a \not\equiv 0\pmod{p}$，且对于某个整数$x, x^2\equiv \;a \pmod{p}$ 如果不存在整数$x$，使得$x^2 \equiv \;a \pmod{p}$。

a 等于0、1、2、……时的周期数列(a|p)，又称为勒让德数列，有时把{0,1,-1}的数值用{1,0,1}或{0,1,0}代替。[4]

## 勒让德符号的公式

$\left(\frac{a}{p}\right) =\pm1\equiv a^{\frac{p-1}{2}}\pmod p.$

$\left(\frac{a}{p}\right) =\frac{1+\zeta^{a}+\zeta^{4a}+\zeta^{9a}+\dots+\zeta^{(p-1)^2a}}{1+\zeta+\zeta^{4}+\zeta^{9}+\dots+\zeta^{(p-1)^2}} =\frac{2(1+\zeta^{a}+\zeta^{4a}+\zeta^{9a}+\dots+\zeta^{(p-1)^2a})}{\sqrt p(1+i)[1+(-i)^p]}.$

$\left(\frac{p}{q}\right) =\sgn\prod_{i=1}^{\frac{q-1}{2}}\prod_{k=1}^{\frac{p-1}{2}}\left(\frac{k}{p}-\frac{i}{q}\right)$

$\left(\frac{q}{p}\right) =\prod_{n=1}^{\frac{p-1}{2}} \frac{\sin (\frac{2\pi}{p}qn)}{\sin(\frac{2\pi}{p}n)}.$

### 其它含有勒让德符号的公式

$F_{p-\left(\frac{p}{5}\right)} \equiv 0 \pmod p,\;\;\; F_{p} \equiv \left(\frac{p}{5}\right) \pmod p.$

$(\tfrac{2}{5}) = -1, \,\, F_3 = 2, F_2=1,$
$(\tfrac{3}{5}) = -1, \,\, F_4 = 3,F_3=2,$
$(\tfrac{5}{5}) = \;\;\,0,\,\, F_5 = 5,$
$(\tfrac{7}{5}) = -1, \,\,F_8 = 21,\;\;F_7=13,$
$(\tfrac{11}{5}) = +1, F_{10} = 55, F_{11}=89.$

## 性质

• $\left(\frac{ab}{p}\right) = \left(\frac{a}{p}\right)\left(\frac{b}{p}\right)$（它是一个完全积性函数。这个性质可以理解为：两个剩余或非剩余的乘积是剩余，一个剩余与一个非剩余的乘积是非剩余。）
• 如果ab (mod p)，则$\left(\frac{a}{p}\right) = \left(\frac{b}{p}\right)$
• $\left(\frac{a^2}{p}\right) = 1$
• $\left(\frac{-1}{p}\right) = (-1)^{\frac{p-1}{2}} =\begin{cases} +1\mbox{ if }p \equiv 1\pmod{4} \\ -1\mbox{ if }p \equiv 3\pmod{4} \end{cases}$

• $\left(\frac{2}{p}\right) = (-1)^{\frac{p^2-1}{8}} =\begin{cases} +1\mbox{ if }p \equiv 1\mbox{ or }7 \pmod{8} \\ -1\mbox{ if }p \equiv 3\mbox{ or }5 \pmod{8} \end{cases}$

• 如果pq是奇素数，则$\left(\frac{q}{p}\right) = \left(\frac{p}{q}\right)(-1)^{ \frac{p-1}{2} \frac{q-1}{2} }.$

• 对于奇素数p$\left(\frac{3}{p}\right) = (-1)^\left \lceil \frac{p+1}{6} \right \rceil =\begin{cases} +1\mbox{ if }p \equiv 1\mbox{ or }11 \pmod{12} \\ -1\mbox{ if }p \equiv 5\mbox{ or }7 \pmod{12} \end{cases}$
• 对于奇素数p$\left(\frac{5}{p}\right) =(-1)^\left \lfloor \frac{p-2}{5} \right \rfloor =\begin{cases} +1\mbox{ if }p \equiv 1\mbox{ or }4 \pmod5 \\ -1\mbox{ if }p \equiv 2\mbox{ or }3 \pmod5 \end{cases},$

• 对于奇素数p$\left(\frac{7}{p}\right) =\begin{cases} +1\mbox{ if }p \equiv 1, 3, 9, 19, 25,\mbox{ or }27\pmod{28} \\ -1\mbox{ if }p \equiv 5, 11, 13, 15, 17, \mbox{ or } 23 \pmod{28} \end{cases}$

## 计算例子

$\left ( \frac{12345}{331}\right )$
$=\left ( \frac{3}{331}\right ) \left ( \frac{5}{331}\right ) \left ( \frac{823}{331}\right )$
$=\left ( \frac{3}{331}\right ) \left ( \frac{5}{331}\right ) \left ( \frac{161}{331}\right )$
$=\left ( \frac{3}{331}\right ) \left ( \frac{5}{331}\right ) \left ( \frac{7}{331}\right ) \left ( \frac{23}{331}\right )$
$= (-1) \left ( \frac{331}{3}\right ) \left ( \frac{331}{5}\right ) (-1) \left ( \frac{331}{7}\right ) (-1) \left ( \frac{331}{23}\right )$
$=-\left ( \frac{1}{3}\right ) \left ( \frac{1}{5}\right ) \left ( \frac{2}{7}\right ) \left ( \frac{9}{23}\right )$
$=-\left ( \frac{1}{3}\right ) \left ( \frac{1}{5}\right ) \left ( \frac{2}{7}\right ) \left ( \frac{3}{23}\right )^2$
$= - \left (1\right ) \left (1\right ) \left (1\right ) \left (1\right ) = -1.$

## 相关函数

• 雅可比符号是勒让德符号的一个推广，允许底数为合数，但底数仍然必须是奇数和正数。这个推广提供了计算所有勒让德符号的一个有效的方法。
• 一个进一步的推广是克罗内克符号，把底数的范围延伸到一切整数。

## 注释

1. ^ A. M. Legendre Essai sur la theorie des nombres Paris 1798, p 186
2. ^ 在欧拉（1783年）和勒让德（1786年）的作品中有所讲述。首先由高斯在1796年证明，在DA（1801年）出版；arts. 107-144（第一个证明），253-262（第二个证明）
3. ^ Lemmermeyer, p.xiv “即使在像双二次互反律的简单情况下，我们仍然需要区分四个不同的符号，即Z[i]中的二次和双二次剩余符号，Z中的勒让德符号，以及Z中的有理二次剩余符号……”
4. ^ Jeong-Heon Kim and Hong-Yeop Song, "Trace Representation of Legendre Sequences," Designs, Codes, and Cryptography 24, p. 343–348 (2001).
5. ^ Lemmermeyer p. 8
6. ^ Gauss, "Summierung gewisser Reihen von besonderer Art" (1811), reprinted in Untersuchungen ... pp. 463-495. Crandall & Pomerance p. 92
7. ^ Gauss, "Summierung gewisser Reihen von besonderer Art" (1811), reprinted in Untersuchungen ... pp. 463-495
8. ^ Gauss, "Neue Beweise und Erweiterungen des Fundamentalsatzes in der Lehre von den quadritischen Resten" (1818) reprinted in Untersuchungen ... pp. 501-505
9. ^ 在Lemmermeyer的最初四章有所讲述
10. ^ Lemmermeyer, ex. p. 31, 1.34
11. ^ Lemmermeyer, pp. 236 ff.
12. ^ Ribenboim, p. 64; Lemmermeyer, ex 2.25-2.28, pp. 73-74.

## 参考文献

• Gauss, Carl Friedrich; Maser, H.（德文翻译者）, Untersuchungen uber hohere Arithmetik (Disquisitiones Arithmeticae & other papers on number theory)（第二版）, New York: Chelsea, 1965, ISBN 0-8284-0191-8
• Gauss, Carl Friedrich; Clarke, Arthur A.（英文翻译者）, Disquisitiones Arithmeticae（第二，修订版）, New York: Springer, 1986, ISBN 0387962549
• Bach, Eric; Shallit, Jeffrey, Algorithmic Number Theory (Vol I: Efficient Algorithms), Cambridge: The MIT Press, 1966, ISBN 0-262-02045-5 请检查|isbn=值 (帮助)
• Ireland, Kenneth; Rosen, Michael, A Classical Introduction to Modern Number Theory（第二版）, New York: Springer, 1990, ISBN 0-387-97329-X