勒贝格测度

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数学上,勒贝格测度是赋予欧几里得空间的子集一个长度面积、或者体积的标准方法。它广泛应用于实分析,特别是用于定义勒贝格积分。可以赋予一个体积的集合被称为勒贝格可测;勒贝格可测集A的体积或者说测度记作λ(A)。一个值为∞的勒贝格测度是可能的,但是即使如此,在假设选择公理成立时,Rn的所有子集也不都是勒贝格可测的。不可测集的“奇特”行为导致了巴拿赫-塔斯基悖论这样的命题,它是选择公理的一个结果。

问题起源[编辑]

人们知道,区间的长度可以定义为端点值之差。若干个不交区间的并的长度应当是它们的长度之和。于是人们希望将长度的概念推广为比区间更复杂的集合。

我们想构造一个映射m,它能将实数集的子集E映射为非负实数mE。称这样的映射(集函数)为集合E的测度。最理想的情况应该是m具有以下性质:

  • mE对于实数集的所有子集E都有定义。
  • 对于一个区间I,mI应当等于其长度(端点数值之差)。
  • 如果{En}是一列不相交的集合,并且m在其上有定义,那么m(\cup E_n) = \sum mE_n
  • m具有平移不变性,即如果一个m有定义的集合E的每个元素都加一个相同的实数(定义为\{x + y | x \in E\},记作E+y),那么m(E+y)=mE。

遗憾的是,这样的映射(集函数)是不存在的。人们只能退而求其次,寻找满足其中部分条件的映射。其中一个例子是若当测度,它只满足有限可加性(第三条性质希望具有可数可加性)。勒贝格测度是满足后三条性质的例子。

例子[编辑]

  • 如果A是一个区间[a, b], 那么其勒贝格测度是区间长度ba。 开区间 (a, b)的长度与闭区间一样,因为两集合的差是零测集。
  • 如果 A 是区间 [a, b] 和 [c, d]的笛卡尔积,则它是一个长方形,测度为它的面积 (ba)(dc)。
  • 康托尔集是一个勒贝格测度为零的不可数集的例子。

性质[编辑]

Rn 上的勒贝格测度有如下的性质

  1. 如果 A 是区间 I1 × I2 × ... × In笛卡尔积 ,那么A 是勒贝格可测的,并且 \lambda (A)=|I_1|\cdot |I_2|\cdots |I_n|. 其中 |I| 表示区间 I的长度。
  2. 如果 A有限个或可数个两两互不相交的勒贝格可测集的并,那么A 也是勒贝格可测的,并且λ(A) 就是这些可测集的测度的和(或无穷级数的和)。
  3. 如果A 勒贝格可测的,那么它的补集(相对于Rn )也是可测的。
  4. 对于每个勒贝格可测集A,λ(A) ≥ 0 。
  5. 如果AB是勒贝格可测的,且AB的子集,那么λ(A) ≤ λ(B)。 (由 2, 3 及 4可得。)
  6. 可数多个是勒贝格可测集的交或者并仍然是勒贝格可测的。 (由2,3 可得)。
  7. 如果A是一个开集闭集,且是Rn(甚至Borel集,见度量空间,待补)的子集,那么 A 是勒贝格可测的。
  8. 如果A是一个勒贝格可测集,并有 λ(A) = 0 (零测集),则 A 的任何一个子集也是零测集。
  9. 如果A 是勒贝格可测的,xRn 中的一个元素,A关于x的平移(定义为 A + x = {a + x : aA})也是勒贝格可测的,并且测度等于 A.
  10. 如果A是勒贝格可测的,\delta>0,则A关于\delta的扩张(定义为\delta A=\{\delta x:x\in A\})也是勒贝格可测的,其测度为\delta^{n}\lambda\,(A)
  11. 更广泛地说,设 T是一个线性变换A是一个Rn 的勒贝格可测子集,则 T(A)也是勒贝格可测的,其测度为|\det(T)|\, \lambda\,(A)
  12. 如果 ARn 的勒贝格可测子集,f 是一个 ARn 上的连续单射函数,则 f(A)也是勒贝格可测的。


简要地说,Rn的勒贝格可测子集组成一个含所有区间及其笛卡尔积的σ代数,且λ是其上唯一的完备的、平移不变的、满足\lambda([0,1]\times [0, 1]\times \cdots \times [0, 1])=1的测度。

勒贝格测度是σ-有限测度

零测集[编辑]

Rn的子集是零测集,如果对于每一个ε > 0,它都可以用可数个n个区间的乘积来覆盖,其总体积最多为ε。所有可数集都是零测集。

如果Rn的子集的豪斯多夫维数小于n,那么它就是关于n维勒贝格测度的零测集。在这里,豪斯多夫维数是相对于Rn上的欧几里得度量(或任何与其等价的利普希茨度量)。另一方面,一个集合可能拓扑维数小于n,但具有正的n维勒贝格测度。一个例子是史密斯-沃尔泰拉-康托尔集,它的拓扑维数为0,但1维勒贝格测度为正数。

为了证明某个给定的集合A是勒贝格可测的,我们通常尝试寻找一个“较好”的集合B,与A只相差一个零测集,然后证明B可以用开集或闭集的可数交集和并集生成。

勒贝格测度的结构[编辑]

勒贝格测度的现代结构,基于外测度,是卡拉特奥多里发明的。

固定n\in\mathbb N\R^n中的盒子是形如B=\prod_{i=1}^n [a_i,b_i]的集合,其中b_i\ge a_i。这个盒子的体积\operatorname{vol}(B)定义为\prod_{i=1}^n (b_i-a_i).

对于任何Rn的子集A,我们可以定义它的外测度 \lambda^*(A)

 \lambda^*(A) = \inf \Bigl\{\sum_{j\in J}\operatorname{vol}(B_j) : \{B_j:j\in J\}是可数个盒子的集合,它的并集覆盖了A\Bigr\} .

然后定义集合A为勒贝格可测的,如果对于所有集合S\subset \R^n,都有:

 \lambda^*(S) = \lambda^*(A \cap S) + \lambda^*(S - A)

这些勒贝格可测的集合形成了一个σ代数。勒贝格测度定义为λ(A) = λ*(A)对于任何勒贝格可测的集合A

根据维塔利定理,存在实数R的一个勒贝格不可测的子集。如果A\R^n的任何测度为正数的子集,那么A便有勒贝格不可测的子集。

与其他测度的关系[编辑]

在所定义的集合上,博雷尔测度与勒贝格测度是一致的;然而,仍然有更多勒贝格可测的集合不是博雷尔可测的。博雷尔测度是平移不变的,但不是完备的。

哈尔测度可以定义在任何局部紧上,是勒贝格测度的一个推广(带有加法的Rn是一个局部紧群)。

豪斯多夫测度(参见豪斯多夫维数)是勒贝格测度的一个推广,对于测量Rn的维数比n低的子集是很有用的,例如R³内的曲线或曲面,以及分形集合。不能把豪斯多夫测度与豪斯多夫维数的概念混淆。

可以证明,在无穷维空间不存在勒贝格测度的类似物。

历史[编辑]

勒贝格在1901年描述了他的测度,随后在第二年他描述了勒贝格积分。二者都是作为他在1902年的博士论文的一部分发表的。

参看[编辑]