勒贝格点

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數學實分析中,一個函數f定義域上的一點,稱為勒貝格(Lebesgue)點,大約是指在該點附近可以取任意小的鄰域,使得f在這鄰域上的平均,非常接近f在該點的值。

定義[编辑]

\mu\mathbb R^n上的拉东测度f:\mathbb R^n \to \mathbb R1 \leq p < \inftyf \in L^p_\mathrm{loc}(\mathbb R^n,\mu),即|f|^p局部可積函數,那么若点x适合

\lim_{r \to 0+} \frac 1 {\mu(B(x,r))}\int_{B(x,r)} |f-f(x)|^p \mathrm d\mu = 0

则稱x是勒贝格点。(其中B(x,r)是以x为中心,r为半径的。)勒貝格微分定理證明了在\mathbb R^n中,勒贝格点是\mu几乎处处的。

參考[编辑]

  • Evans, Lawrence C.; Gariepy, Ronald F. (1992). Measure theory and fine properties of functions. CRC Press.