洛伦茨吸引子

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ρ=28、σ = 10、β = 8/3时的洛伦兹系统轨迹

洛伦茨吸引子是洛伦茨振子（Lorenz oscillator）的长期行为对应的分形结构，以爱德华·诺顿·洛伦茨的姓氏命名。洛伦茨振子是能产生混沌流的三维动力系统，以其双纽线形状而著称。映射展示出动力系统（三维系统的三个变量）的状态是如何以一种复杂且不重复的模式，随时间的推移而演变的。

简述

洛伦茨方程的一条轨迹被描绘成金属线，以展现方向以及三維结构

洛伦茨吸引子及其导出的方程组是由爱德华·诺顿·洛伦茨於1963年发表，最初是发表在《大气科学杂志》（Journal of the Atmospheric Sciences）杂志的论文《Deterministic Nonperiodic Flow》中提出的，是由大气方程中出现的对流卷方程简化得到的。

这一洛伦茨模型不只对非线性数学有重要性，对於气候和天气预报来说也有着重要的含义。行星和恒星大气可能会表现出多种不同的准周期状态，这些准周期状态虽然是完全确定的，但却容易发生突变，看起来似乎是随机变化的，而模型对此现象有明确的表述。

从技术角度看来，洛伦茨振子具有非線性、三维性和确定性。2001年，沃里克·塔克尔（Warwick Tucker）证明出在一组确定的参数下，系统会表现出混沌行为，显示出人们今天所知的奇异吸引子。这样的奇异吸引子是豪斯多夫维数在2与3之间的分形。彼得·格拉斯伯格（Peter Grassberger）已於1983年估算出豪斯多夫维数为2.06 ± 0.01，而关联维数为2.05 ± 0.01。

此系统也会出现在单模激光Haken, 缺乏參考資料名稱. 1975 和发电机Knobloch, 缺乏參考資料名稱. 1981 的简化模型中。除此之外，闭环对流、水轮转动等物理模型也有此系统的应用。

洛伦茨方程

标出刻度的轨迹

洛伦茨方程是基於纳维－斯托克斯方程、热传导方程和连续性方程简化得出，最初的形式为：

$\frac { \partial \vec v }{\partial t} + \left( \vec v \nabla \right) \vec v = -\frac {\nabla p}{\rho} + \nu \nabla ^2 \vec v + \vec g$

$\frac { \partial \rho }{\partial t} + \nabla \left( \rho \vec v \right) = 0$

$\frac { \partial T }{\partial t} + \nabla \left( T \vec v \right) = \chi \nabla ^2 T$

$\rho = \rho_0 \left( 1 - \gamma \left( T - T_0 \right) \right)$

$\vec v$——流速，$T$——流体温度，$T_0$——上限温度（也可以写成$T_0 + \Delta T$），$\rho$——密度，$p$——压强，$\vec g$——重力，$\gamma$、$\chi$、$\nu$——依次为热膨胀系数、热扩散率和动黏滯係數。

简化後的形式称为洛伦茨方程，是决定洛伦茨振子状态的方程为一组常微分方程：

$\frac{dx}{dt} = \sigma (y - x)$

$\frac{dy}{dt} = x (\rho - z) - y$

$\frac{dz}{dt} = xy - \beta z$

含时间参数的形式：

$\begin{cases} \frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t}=\sigma \bigl( y(t) - x(t) \bigr)\\ \frac{\mathrm{d}y(t)}{\mathrm{d}t}=\rho \, x(t) - y(t) - x(t) \, z(t)\\ \frac{\mathrm{d}z(t)}{\mathrm{d}t} =x(t) \, y(t) - \beta \, z(t) \end{cases}$

$\sigma$称为普兰特尔数 ，$\rho$称为瑞利数。所有的$\sigma$，$\rho$，$\beta$ > 0，但通常$\sigma$ = 10，$\beta$ = 8/3，$\rho$不定。若$\rho<1$，则吸引子为原点，没有任何其他稳定点。1≤ρ<13.927时，螺线轨迹接近两点（这相当於存在阻尼振子），两点的位置由下列式子决定：$~ x = \pm \sqrt{b (\rho-1) }$、$~ y = \pm \sqrt{b (\rho-1) }$、$~ z = \rho-1$。系统在$\rho$ = 28时表现出混沌特性，但$\rho$为其他值时会显示出具纽结的周期轨道。例如，当$\rho = 99.96$时，图像变为一个T(3,2)环面纽结。

初始条件的敏感依赖性
时间t=1 （放大）	时间t=2 （放大）	时间t=3 （放大）
这三幅图是在ρ=28，σ = 10，β = 8/3的条件下生成的，展示出洛伦茨吸引子中的两条轨迹（蓝色、黄色各一）的三维演变的三个时段， 这两条轨迹的初始点只在x坐标上相差10-5。开始时，两条轨迹似乎是重合的（蓝色轨迹被黄色遮盖，因此只能看到黄色轨迹），但一段时间後，分离就变得明显了。
洛伦茨吸引子的Java动画展示了振子状态连续不断的演变

瑞利数

不同ρ值时的洛伦茨吸引子
ρ=14, σ=10, β=8/3 （放大）	ρ=13, σ=10, β=8/3 （放大）
ρ=15, σ=10, β=8/3 （放大）	ρ=28, σ=10, β=8/3 （放大）
ρ值较小时，系统是稳定的，并能演变为两个定点吸引子中的一个；当ρ大於24.28时，定点变成了排斥子，会以非常复杂的方式排斥轨迹，演变时自身从不交叉。
Java动画显示了不同ρ值时振子状态的演变

源代码

GNU Octave

下面是GNU Octave模拟洛伦茨吸引子的源代码：

## Lorenz Attractor equations solved by ODE Solve
## x' = sigma*(y-x)
## y' = x*(rho - z) - y
## z' = x*y - beta*z
function dx = lorenzatt(X)
    rho = 28; sigma = 10; beta = 8/3;
    dx = zeros(3,1);
    dx(1) = sigma*(X(2) - X(1));
    dx(2) = X(1)*(rho - X(3)) - X(2);
    dx(3) = X(1)*X(2) - beta*X(3);
    return
end

## Using LSODE to solve the ODE system.
clear all
close all
lsode_options("absolute tolerance",1e-3)
lsode_options("relative tolerance",1e-4)
t = linspace(0,25,1e3); X0 = [0,1,1.05];
[X,T,MSG]=lsode(@lorenzatt,X0,t);
T
MSG
plot3(X(:,1),X(:,2),X(:,3))
view(45,45)

Borland C

#include <graphics.h>
#include <conio.h>
void main()
{
    double x = 3.051522, y = 1.582542, z = 15.62388, x1, y1, z1;
    double dt = 0.0001;
    int a = 5, b = 15, c = 1;
    int gd=DETECT, gm;
    initgraph(&gd, &gm, "C:\\BORLANDC\\BGI");
    do {
        x1 = x + a*(-x+y)*dt;
        y1 = y + (b*x-y-z*x)*dt;
        z1 = z + (-c*z+x*y)*dt;
        x = x1; y = y1; z = z1;
        putpixel((int)(19.3*(y - x*0.292893) + 320),
                 (int)(-11*(z + x*0.292893) + 392), 9);
    } while (!kbhit());
    closegraph();
}

Borland Pascal

Program Lorenz;
Uses CRT, Graph;
Const
  x: Real = 3.051522;
  y: Real = 1.582542;
  z: Real = 15.62388;
  dt = 0.0001;
  a = 5;
  b = 15;
  c = 1;
Var
  gd, gm: Integer;
  x1, y1, z1: Real;
Begin
  gd:=Detect;
  InitGraph(gd, gm, 'c:\bp\bgi');
  While not KeyPressed Do Begin
      x1 := x + a*(-x+y)*dt;
      y1 := y + (b*x-y-z*x)*dt;
      z1 := z + (-c*z+x*y)*dt;
      x := x1;
      y := y1;
      z := z1;
      PutPixel(Round(19.3*(y - x*0.292893) + 320),
               Round(-11*(z + x*0.292893) + 392), 9);
    End;
    CloseGraph;
    ReadKey;
End.

Fortran

program LorenzSystem
 
real,parameter::sigma=10
real,parameter::r=28
real,parameter::b=2.666666
real,parameter::dt=.01
integer,parameter::n=1000
 
real x,y,z
 
open(1,file='result.txt',form='formatted',status='replace',action='write')
 
x=10.;y=10.;z=10.
 
do i=1,n,1
    x1=x+sigma*(y-x)*dt
    y1=y+(r*x-x*z-y)*dt
    z1=z+(x*y-b*z)*dt
    x=x1
    y=y1
    z=z1
    write(1,*)x,y,z
enddo
 
print *,'Done'
 
 close(1)
 
end program LorenzSystem

QBASIC/FreeBASIC("fbc -lang qb")

DIM x, y, z, dt, x1, y1, z1 AS SINGLE
DIM a, b, c AS INTEGER
x = 3.051522: y = 1.582542: z = 15.62388: dt = 0.0001
a = 5: b = 15: c = 1
SCREEN 12
PRINT "Press Esc to quit"
WHILE INKEY$ <> CHR$(27)
    x1 = x + a * (-x + y) * dt
    y1 = y + (b * x - y - z * x) * dt
    z1 = z + (-c * z + x * y) * dt
    x = x1
    y = y1
    z = z1
    PSET ((19.3 * (y - x * .292893) + 300), (-11 * (z + x * .292893) + 360)), 9
WEND
END

参见

• 混沌映射列表
• Takens定理
• 曼德布洛特集合

参考文献

• （英文）Jonas Bergman, Knots in the Lorentz Equation, 学士毕业论文, Uppsala University 2004.
• （英文）Frøyland, J., Alfsen, K. H.. Lyapunov-exponent spectra for the Lorenz model. Phys. Rev. A. 1984, 29: 2928–2931. doi:10.1103/PhysRevA.29.2928. 
• （英文）P. Grassberger and I. Procaccia. Measuring the strangeness of strange attractors. Physica D. 1983, 9: 189–208. doi:10.1016/0167-2789(83)90298-1. 
• （英文）Haken, H., Analogy between higher instabilities in fluids and lasers, Physics Letters A. 1975, 53 (1): 77–78, doi:10.1016/0375-9601(75)90353-9 .
• （英文）Lorenz, E. N.. Deterministic nonperiodic flow. J. Atmos. Sci.. 1963, 20: 130–141. doi:10.1175/1520-0469(1963)020<0130:DNF>2.0.CO;2. 
• （英文）Knobloch, Edgar, Chaos in the segmented disc dynamo, Physics Letters A. 1981, 82 (9): 439–440, doi:10.1016/0375-9601(81)90274-7 .
• （英文）Strogatz, Steven H.. Nonlinear Systems and Chaos. Perseus publishing. 1994. 
• （英文）Tucker, W.. A Rigorous ODE Solver and Smale's 14th Problem. Found. Comp. Math.. 2002, 2: 53–117. 

外部链接

相關的维基共享资源：

洛伦茨吸引子

• （英文）Eric W. Weisstein, 洛伦茨吸引子, MathWorld.

• （英文）洛伦茨吸引子，作者为Wolfram Demonstrations Project的Rob Morris
• （英文）洛伦茨吸引子，planetmath.org
• （英文）用於绘出洛伦茨吸引子或处理类似情况的源代码，使用ANSI C及gnuplot实现
• （英文）《同步混沌与私人通信》，由MIT林肯实验室的Steven Strogatz与Kevin Cuomo讲解电子电路中洛伦茨吸引子的实现
• （英文）洛伦茨吸引子交互式动画（需Adobe Shockwave插件）
• （英文）Levitated.net：计算艺术与设计
• （英文）3D Attractors：三维方式显示和研究洛伦茨吸引子Mac程序
• （英文）3D VRML Lorenz attractor（需VRML浏览器插件）
• （英文）J语言实现洛伦茨吸引子演示的短文 - 见J语言
• （英文）非线性模拟的Java小程序（选择预设“Lorenz attractor”），作者Viktor Bachraty，编写语言Jython
• （英文）模拟电子技术中洛伦茨吸引子的实现
• （简体中文）混沌蝴蝶——洛伦兹吸引子