勾股数

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勾股数,又名商高數毕氏三元数(Pythagorean triple),是由三个正整数组成的数组;能符合勾股定理(毕式定理)「a^2+b^2=c^2」之中, (a, b, c) 的正整数解。而且,基于勾股定理的逆定理,任何边长是勾股数组的三角形都是直角三角形

如果 (a, b, c) 是勾股数,它们的正整数倍数,也是勾股数,即 (na, nb, nc) 也是勾股数。若果 (a, b, c) 三者互质(它们的最大公因数是 1),它们就称为素勾股数

以下的方法可用来找出勾股数。设 m > nmn 均是正整数,

a=m^2-n^2
b=2mn
c=m^2+n^2

mn互质,而且 mn 其中有一个是偶数,计算出来的 (a, b, c) 就是素勾股数。(若 mn 都是奇数, (a, b, c) 就会全是偶数,不符合互质。)

所有素勾股数可用上述列式当中找出,这亦可推论到数学上存在无穷多的素勾股数。

小于 100 的素勾股数列表:

a b c
3 4 5
5 12 13
7 24 25
8 15 17
9 40 41
11 60 61
12 35 37
13 84 85
16 63 65
20 21 29
28 45 53
33 56 65
36 77 85
39 80 89
48 55 73
65 72 97

让我们把上述列式重组至以下列式:

a^2=(c-b)(c+b)

有些勾股数组可以有同一个最小的勾股数。第一个例子是 20 ,它在以下两组勾股数之中出现:(20, 21, 29) 与 (20, 99, 101)。

在 15,386 组素勾股数的 1229779565176982820 ,它的最小与最大的勾股数组是:

1229779565176982820
1230126649417435981
1739416382736996181

1229779565176982820
378089444731722233953867379643788099
378089444731722233953867379643788101

试考虑它的质因数分解

1229779565176982820 = 2^2\times 3\times 5\times 7\times 11\times 13\times 17\times 19\times 23\times 29\times 31\times 37\times 41\times 43\times 47

它质因数的个数涉及不少素勾股数。当然,数学上存在比它大的素勾股数。


费马最后定理指出,若 a^n+b^n=c^n,而 n 是大于 2 的整数, (a, b, c) 即没有正整数解。

找尋勾股數的小技巧[编辑]

若需要一組最小數為奇數的勾股數,可任意選取一個 3 或以上的奇數,將該數自乘為平方數,除以 2,答案加減 0.5 可得到兩個新的數字,這兩個數字連同一開始選取的奇數,三者必定形成一組勾股數。但卻不一定是以這個選取數字為起首勾股數的唯一可能,例如 (27, 364, 365) 並非是以 27 為起首的唯一勾股數,因為存在另一個勾股數是 (27, 36, 45),同樣也以 27 為首。

外部链接[编辑]

參見[编辑]