包立方程式

包立方程式是描述自旋-1/2粒子隨著時間演化的薛丁格方程式，自旋-1/2粒子例如電子。其為狄拉克方程式在非相對論性極限下的特例，可用在粒子慢到相對論效應可以忽略的場合。

包立方程式是由沃爾夫岡·包立所建構。

細節

時間相依的線性包立方程式：

$(\vec{\sigma}\cdot \vec{p} - c)|\psi\rangle=0$

其中

$\vec{p}$為動量，

c為光速，

$\vec{\sigma}$為包立矩陣，

$|\psi\rangle := \begin{pmatrix} |\psi_+\rangle \\ |\psi_-\rangle \end{pmatrix}$為包立旋量。

兩個旋量分量都滿足薛丁格方程式。這表示系統是有額外但簡併的的自由度。

若有外加的電磁場，完整包立方程式寫為：

$\underbrace{i \hbar \partial_t \vec \varphi_\pm = \left( \frac{(\underline{\vec p} - q \cdot \vec A)^2}{2 m} + q \phi \right) \hat 1 \vec \varphi_\pm}_\mathrm{Schr\ddot{o}dinger~equation} - \underbrace{\frac{q \hbar}{2m}\vec{\hat \sigma} \cdot \vec B \vec \varphi_\pm}_\text{Stern Gerlach term}$

其中

$\phi$為純量電場勢，

$A$為向量勢，

$\vec \varphi_\pm$為包立旋量，以狄拉克標記可表示為$|\psi\rangle :=\begin{pmatrix} |\varphi_+\rangle \\ |\varphi_-\rangle \end{pmatrix}$，

$\vec{\hat \sigma}$為包立矩陣

$\vec B$為外加磁場

$\hat 1$為二維單位矩陣

有了斯特恩-革拉赫項(Stern Gerlach term)，則可能可以理解帶有一個價電子的原子何以得到得到自旋取向，例如流過不均勻磁場的銀原子。

相似地，比如在反常塞曼效應(Zeeman effect)，這一項造成磁場中的譜線（對應到能階）分裂。

推導包立方程式

自狄拉克方程式開始，設定弱的電磁場交互作用：

$i \hbar \partial_t \left( \begin{array}{c} \vec \varphi_1\\\vec \varphi_2\end{array} \right) = c \left( \begin{array}{c} \vec{\hat \sigma} \vec \pi \vec \varphi_2\\\vec{\hat \sigma} \vec \pi \vec \varphi_1\end{array} \right)+q \phi \left( \begin{array}{c} \vec \varphi_1\\\vec \varphi_2\end{array} \right) + mc^2 \left( \begin{array}{c} \vec \varphi_1 \\-\vec \varphi_2\end{array} \right)$

其中$\vec \pi = \vec p - q \vec A$

利用到如下近似：

• 透過如下前提(ansatz)對方程式做簡化

$\left( \begin{array}{c} \vec \varphi_1 \\ \vec \varphi_2 \end{array} \right) = e^{-i \frac{mc^2t}{\hbar}} \left( \begin{array}{c} \vec{\tilde \varphi_1} \\ \vec{\tilde \varphi_2} \end{array} \right)$

• 透過緩慢時間相依性的前提去除掉靜能量

$\partial_t \vec \varphi_i \ll \frac{mc^2}{\hbar} \vec \varphi_i$

• 與電場勢有弱的耦合

$q \phi \ll mc^2$