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包立方程式

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包立方程式是描述自旋-1/2粒子隨著時間演化的薛丁格方程式自旋-1/2粒子例如電子。其為狄拉克方程式非相對論性極限下的特例,可用在粒子慢到相對論效應可以忽略的場合。

包立方程式是由沃爾夫岡·包立所建構。

細節[编辑]

時間相依的線性包立方程式:

(\vec{\sigma}\cdot \vec{p} - c)|\psi\rangle=0

其中

\vec{p}為動量,
c為光速
\vec{\sigma}包立矩陣
|\psi\rangle := \begin{pmatrix} |\psi_+\rangle \\
                                       |\psi_-\rangle
\end{pmatrix}為包立旋量

兩個旋量分量都滿足薛丁格方程式。這表示系統是有額外但簡併的的自由度。

若有外加的電磁場完整包立方程式寫為:


\underbrace{i \hbar \partial_t \vec \varphi_\pm = \left( \frac{(\underline{\vec p} - q \cdot \vec A)^2}{2 m} + q \phi \right) \hat 1 \vec \varphi_\pm}_\mathrm{Schr\ddot{o}dinger~equation} - \underbrace{\frac{q \hbar}{2m}\vec{\hat \sigma} \cdot \vec B \vec \varphi_\pm}_\text{Stern Gerlach term}

其中

 \phi 為純量電場
 A 向量勢
 \vec \varphi_\pm為包立旋量,以狄拉克標記可表示為|\psi\rangle :=\begin{pmatrix} |\varphi_+\rangle \\
|\varphi_-\rangle 
\end{pmatrix}
 \vec{\hat \sigma}包立矩陣
 \vec B 為外加磁場
 \hat 1 為二維單位矩陣

有了斯特恩-革拉赫項(Stern Gerlach term),則可能可以理解帶有一個價電子的原子何以得到得到自旋取向,例如流過不均勻磁場的銀原子

相似地,比如在反常塞曼效應(Zeeman effect),這一項造成磁場中的譜線(對應到能階)分裂。

推導包立方程式[编辑]

狄拉克方程式開始,設定弱的電磁場交互作用:


i \hbar \partial_t \left( \begin{array}{c} \vec \varphi_1\\\vec \varphi_2\end{array} \right) = c \left( \begin{array}{c} \vec{\hat \sigma} \vec \pi \vec \varphi_2\\\vec{\hat \sigma} \vec \pi \vec \varphi_1\end{array} \right)+q \phi \left( \begin{array}{c} \vec \varphi_1\\\vec \varphi_2\end{array} \right) + mc^2 \left( \begin{array}{c} \vec \varphi_1 \\-\vec \varphi_2\end{array} \right)

其中\vec \pi = \vec p - q \vec A

利用到如下近似:

  • 透過如下擬設對方程式做簡化
\left( \begin{array}{c} \vec \varphi_1 \\ \vec \varphi_2 \end{array}  \right) = e^{-i \frac{mc^2t}{\hbar}} \left( \begin{array}{c} \vec{\tilde \varphi_1} \\ \vec{\tilde \varphi_2} \end{array} \right)
  • 透過緩慢時間相依性的前提去除掉靜能量
\partial_t \vec \varphi_i \ll \frac{mc^2}{\hbar} \vec \varphi_i
q \phi \ll mc^2