包絡線

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Diffeq.png

幾何學,某個曲線族的包絡線(Envelope),是跟該曲線族的每條線都有至少一點相切的一條曲線。(曲線族即一些曲線的無窮,它們有一些特定的關係。)

設一個曲線族的每條曲線C_s可表示為t \mapsto (x(s,t),y(s,t)),其中s是曲線族的參數t是特定曲線的參數。若包絡線存在,它是由s \mapsto ( x(s,h(s)), y(s,h(s)) )得出,其中h(s)以以下的方程求得:

\frac{\partial y}{\partial h} \frac{\partial x}{\partial s} = \frac{\partial y}{\partial s} \frac{\partial x}{\partial h}

若曲線族以隱函數形式 F(x,y,s)=0 表示,其包絡線的隱方程,便是以下面兩個方程消去s得出。

\begin{cases} F(x,y,s)=0\\ \frac{\partial F(x,y,s)}{\partial s} =0\end{cases}


繡曲線是包絡線的例子。直線族(A-s) x + s y = (A-s)(s)(其中A是常數,s是直線族的變數)的包絡線為拋物線[1]


證明[编辑]

設曲線族的每條曲線C_st \mapsto (x(s,t),y(s,t))

設存在包絡線。由於包絡線的每點都與曲線族的其中一條曲線的其中一點相切,對於任意的s,設( x(s,h(s)), y(s,h(s)) )表示C_s和包絡線相切的那點。由此式可見,s是包絡線的變數。要求出包絡線,就即要求出h(s)

C_s的切向量為< \frac{\partial x}{\partial t}, \frac{\partial y}{\partial t}  >,其中t=h(s)

在E的切向量為< \frac{dx}{ds}, \frac{dy}{ds}  >。因為xst的函數,而此處t=h(s)局部求導有:

\frac{dx}{ds} = \frac{\partial x}{\partial h} \frac{dh}{ds} + \frac{\partial x}{\partial s} \frac{ds}{ds} = \frac{\partial x}{\partial h} h'(s) + \frac{\partial x}{\partial s}

類似地得 \frac{dy}{ds} = \frac{\partial y}{\partial h} h'(s) + \frac{\partial y}{\partial s}

因為EC_s在該點相切,因此其切向量應平行,故有

\frac{\partial x}{\partial t} = \lambda ( \frac{\partial x}{\partial h} h'(s) + \frac{\partial x}{\partial s} )
\frac{\partial y}{\partial t} = \lambda ( \frac{\partial y}{\partial h} h'(s) + \frac{\partial y}{\partial s} )

其中\lambda \ne 0。可用此兩式消去h'(s)。整理後得: \frac{\partial y}{\partial h} \frac{\partial x}{\partial s} = \frac{\partial y}{\partial s} \frac{\partial x}{\partial h}

參考[编辑]

參見[编辑]

外部連結[编辑]