化圓為方

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尺规作图三大难题
三等分角
化圆为方
倍立方
化圓為方:求一正方形,其面積和一已知圓的面積相同。

化圓為方古希臘数学里尺規作圖领域當中的名題,和三等分角倍立方問題被並列為尺规作图三大难题。其問題為:求一正方形,其面積等於一給定的面積。如果尺规能够化圆为方,那么必然能够从单位长度出发,用尺规作出长度为\pi的线段。

进入十九世纪后,随着群论和域论的发展,数学家对三大难题有了本质性的了解。尺规作图问题可以归结为判定某些数是否满足特定的条件,满足条件的数也被称为规矩数。所有规矩数都是代数数。而1882年,数学家林德曼證明了\pi超越數,因此也證實該問題僅用尺規是無法完成的。

如果放寬尺规作图的限制或允许使用其他工具,化圆为方的問題是可行的。如借助西皮阿斯割圓曲線英语quadratrix阿基米德螺線等。

背景简介[编辑]

尺规作图法[编辑]

在叙述化圆为方问题前,首先需要介绍尺规作图的意思。尺规作图问题是从现实中具体的“直尺和圆规画图可能性”问题抽象出来的数学问题,将现实中的直尺和圆规抽象为数学上的设定,研究的是能不能在若干个具体限制之下,在有限的步骤内作出给定的图形、结构或其他目标的问题。在尺规作图中,直尺和圆规的定义是[1]

直尺:一侧为无穷长的直线,没有刻度也无法标识刻度的工具。只可以让笔摹下这个直线的全部或一部分。
圆规:由两端点构成的工具。可以在保持两个端点之间的距离不变的情况下,将两个端点同时移动,或者只固定其中一个端点,让另一个端点移动,作出圆弧或圆。两个端点之间的距离只能取已经作出的两点之间的距离,或者任意一个未知的距离。

定义了直尺和圆规的特性後,所有的作图步骤都可以归化为五种基本的步骤,称为作图公法[1]

  • 通過兩個已知點,作一直線。
  • 已知圓心和半徑,作一個圓。
  • 若兩已知直線相交,确定其交點。
  • 若已知直線和一已知圓相交,确定其交點。
  • 若兩已知圓相交,确定其交點。

尺规作图研究的,就是是否能够通过以上五种步骤的有限次重复,达到给定的作图目标。尺规作图问题常见的形式是:“给定某某条件,能否用尺规作出某某对象?”比如:“给定一个圆,能否用尺规作出这个圆的圆心?”,等等。[1]

问题叙述[编辑]

化圓為方问题的完整叙述是:

给定一个圆,是否能够通过以上说明的五种基本步骤,于有限次内作出一个正方形,使得它的面积等于圆的面积

如果将圆的半径定为单位长度,则化圆为方问题的实质是作出长度为单位长度\sqrt{\pi}倍的线段。[2]

不可能性的證明[编辑]

尺规作图三大难题提出後,有許多基於平面幾何的論證和嘗試,但在十九世紀以前,一直沒有完整的解答。沒有人能夠給出化圆为方问题的解法,但開始懷疑其可能性的人之中,也沒有人能夠證明這樣的解法一定不存在。直到十九世紀後,伽羅瓦和阿貝爾開創了以群論來討論有理係數多項式方程之解的方法,人們才認識到这三个問題的本質[1]

尺规可作性和规矩数[编辑]

在研究各种尺规作图问题的时候,数学家们留意到,能否用尺规作出特定的图形或目标,本质是能否作出符合的长度。引进直角坐标系和解析几何以后,又可以将长度解释为坐标。比如说,作出一个圆,实际上是作出圆心的位置(坐标)和半径的长度。作出特定的某个交点或某条直线,实际上是找出它们的坐标、斜率和截距。为此,数学家引入了尺规可作性这一概念。假设平面上有两个已知的点OA,以OA为单位长度,射线OAx-轴正向可以为平面建立一个标准直角坐标系,平面中的点可以用横坐标和纵坐标表示,整个平面可以等价于\mathbb{R}^2

E\mathbb{R}^2的一个非空子集。如果某直线\mathcal{l}经过E中不同的两点,就说\mathcal{l}E-尺规可作的,简称E-可作。同样地,如果某个圆\mathcal{C}的圆心和圆上的某个点是E中的元素,就说\mathcal{C}E-可作的。进一步地说,如果\mathbb{R}^2里的某个点P是某两个E-可作的直线或圆的交点(直线-直线、直线-圆以及圆-圆),就说点PE-可作的。这样的定义是基于五个基本步骤得来的,包括了尺规作图中从已知条件得到新元素的五种基本方法。如果将所有E-尺规可作的点的集合记作s(E),那么当E中包含超过两个点的时候,E肯定是s(E)的真子集。从某个点集E0开始,经过一步能作出的点构成集合E1=s(E),经过两步能作出的点就是E2=s(E1),……以此类推,经过n步能作出的点集就是En=s(En-1)。而所有从E能尺规作出的点集就是:

C(\mathrm{E}_0) = \bigcup_{n\in\mathbb{N}} \mathrm{E}_n.[3]:521

另一个与尺规可作性相关的概念是规矩数。设H是从集合E0={(0,0), (0,1)}开始,尺规可作点的集合:\mathrm{H} = C(\mathrm{E}_0), 那么规矩数定义为H中的点的横坐标和纵坐标表示的数。

定义:实数ab是规矩数当且仅当(a, b)H中的一个点。[3]:522

可以证明,有理数\mathbb{Q}是所有规矩数构成的集合K的子集,而K又是实数集\mathbb{R}的子集。另外,为了在复数集\mathbb{C}内讨论问题,也会将平面\mathbb{R}^2看作复平面\mathbb{C},同时定义一个复数a+bi是(复)规矩数当且仅当点(a, b)H中的一个点。所有复规矩数构成的集合L也包含\mathbb{Q}作为子集,并且是复数集\mathbb{C}的子集。从尺规可作性到解析几何下的规矩数,尺规作图问题从几何问题转成了代数的问题。[3]:522

域的扩张与最小多项式[编辑]

以集合的观念来说,L\mathbb{Q}\mathbb{C}之间是子集与包含的关系。以抽象代数的观点来说,可以证明L是有理数域\mathbb{Q}的扩域,是实数域\mathbb{C}的子域。记作\mathbb{Q} \subseteq \mathrm{L} \subseteq \mathbb{C}是抽象代数中的概念,是能够进行“加减乘除”运算的集合。从单位长度出发,很容易得到任何有理数长度的线段,所以直线OA(也就是实数轴)上所有的有理数坐标的点都是尺规可作点[1]。如果平面上还有另一个尺规可作点(对应复数z),那么也能做出任意pz+q的点,甚至于任何形如:

\frac{P_1(z)}{P_2(z)}

的点(其中P1P2是两个多项式)。有理数域\mathbb{Q}和所有因为z而多出来的尺规可作点仍旧构成一个域,称为\mathbb{Q}关于z的扩张,记作\mathbb{Q}(z)。然而,\mathbb{Q}(z)中的元素并没有表面上那么“多”。一般来说,如果有一个多项式P使得P(z)=0,那么\mathbb{Q}(z)中的元素都可以写成λ12z+...+λdzd−1的形式,其中dP的阶数。这样的情况称为域\mathbb{Q}有限扩张,因为\mathbb{Q}(z)可以看成关于\mathbb{Q}的有限维线性空间。为了确定这个线性空间的维数,需要为它找一个基底,也就是一个线性无关的最小生成集。为此,寻找使得m(z)=0的多项式中阶数最小的,并称mz最小多项式。在最小多项式确定后,便可确定1, z, ... , zdm−1\mathbb{Q}(z)的一个基底,\mathbb{Q}(z)是一个dm维的\mathbb{Q}-线性空间(dmm的阶数)[4]:68。这时候也称dm是域扩张\mathbb{Q} \subseteq \mathbb{Q}(z)的阶数,记作:

[ \mathbb{Q}(z) : \mathbb{Q} ] = \mathrm{d}_m [3]:512

规矩扩张的阶数[编辑]

对任何一个尺规可作点,都可以考察它对应的域扩张的阶数。由于每个尺规可作点都是通过五种作图公法的有限次累加得到的,而其中生成新点(也就是新坐标)的只有後三种。所以只需考察这三种步骤得到的新点对应的域扩张的阶数。假设某个时刻,已知的所有尺规可作点构成的域是L,那么生成新点时的直线和圆的系数都在L里面。

直线的方程是:ax + by + c = 0, \quad a, b, c \in \mathrm{L},  \qquad \qquad \cdots \; \; (1)
圆的方程是:(x -c_1)^2 + (y - c_2)^2  = r^2, \quad c_1, c_2, r \in \mathrm{L}.\qquad \qquad \cdots \; \; (2)

无论是两个(1)类方程,两个(2)类方程,还是一个(1)类和一个(2)类方程联立求解,得到的xy值都会是形同


\begin{cases}
x = p_1 + q_1\sqrt{t} & p_1 , \;  q_1 ,  \; t \; \in \mathrm{L}\\
y = p_2 + q_2\sqrt{t} & p_2 , \; q_2 \; \in \mathrm{L}
\end{cases}

的数值。所以复规矩数z=x+yi满足一个二次方程:

(z - (p_1 + p_2 i))^2 = t(q_1 + q_2 i)^2

其中的p1+p2iq1+q2i以及t都是L中的元素[3]:523[4]:78-79。这意味着,域扩张L⊆L(z)的阶数最多是2(最小多项式的阶数至多是2)[1]。这又说明,从L开始,经过一系列(n次)基本步骤得到的尺规可作点,代表了n次域扩张:

\mathrm{L} \subseteq \mathrm{L}_1 \subseteq \cdots \subseteq \mathrm{L}_n.

而每次域扩张的阶数:[Lk : Lk-1]都不超过2。因此,如果从基本的有理数域出发的话,就能得到如下的定理:[3]:523-524[1]

任何复规矩数z对应的域扩张\mathbb{Q} \subseteq \mathbb{Q}(z)的阶数[ \mathbb{Q}(z) : \mathbb{Q} ]都是2的某个幂次:

[ \mathbb{Q}(z) : \mathbb{Q} ] = 2^s

其中的s是某个小于n的自然数(n是已知所有有理数坐标点时,作出z对应的点要经过的基本步骤数目)。

圆周率的超越性[编辑]

化圆为方问题是指已知单位长度1,要作出\sqrt{\pi}的长度。这等价于从1开始作出\pi。然而,能够用尺规作出的数z都有对应的最小多项式。也就是说,存在有理系数的多项式m,使得

m(z) = 0.

然而,1882年,林德曼等人证明了对于圆周率\pi来说,这样的多项式不存在。数学家将这样的数称为超越数,而将有对应的多项式的数称为代数数。所有规矩数都是代数数,而\pi不是,这说明用尺规作图是无法化圆为方的。[1]

林德曼证明\pi的超越性用到了现在称为林德曼-魏尔斯特拉斯定理的结论。林德曼-魏尔斯特拉斯定理说明,如果若干个代数数z_1, z_2, \cdots , z_n在有理数域\mathbb{Q}上线性独立,那么e^{z_1}, e^{z_2}, \cdots , e^{z_n}也在\mathbb{Q}上线性独立。反设\pi是代数数,那么\pi i也是代数数。考虑代数数0和\pi i,由于\pi i是无理数,所以它们在\mathbb{Q}上线性独立。然而e^{0}e^{\pi i}分别是1和-1,并非在\mathbb{Q}上线性独立,矛盾。这说明\pi不是代数数,而是超越数。[2]

参考来源[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 曹亮吉. 《三等分任意角可能吗?》. 原載於科學月刊第九卷第四期. http://episte.math.ntu.edu.tw. [2013-05-28]. 
  2. ^ 2.0 2.1 康明昌. 《古希臘幾何三大問題 》. 原載於數學傳播第八卷第二期、第八卷第三期分兩期刊出. http://episte.math.ntu.edu.tw. [2013-05-29]. 
  3. ^ 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 Warner. Modern algebra. Courier Dover Publications. 1990. ISBN 9780486663418 (英文). 
  4. ^ 4.0 4.1 Stewart, Ian. Galois Theory. Chapman and Hall Mathematics. 1989. ISBN 0-412-34550-1 (英文). 


外部鏈接[编辑]