十七边形

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正十七邊形
Regular polygon 17 annotated.svg
一個正十七邊形
類型 正多邊形
17
頂點 17
對角線 119
施萊夫利符號 {17}
考克斯特圖 CDW ring.svgCDW 17.svgCDW dot.svg
對稱群 二面體群 (D17), order 2×17
面積 17
4.
a2cotπ.
17

22.735491898417a2
內角 2700
17..
o = 15814.
17
o
158.82352941176°
內角和 2700°
對偶 正十七邊形 (本身)
特性 圓內接多邊形等邊多邊形等角多邊形isotoxal

十七边形是指幾何學中有17條邊及17隻角的多邊形。其內角和為2700°,有119條對角線。

正十七邊形是有17邊的正多邊形。正十七邊形的每个內角約為158.823529411765°。

作圖方法[编辑]

作圖[编辑]

1796年高斯证明了可以用尺規作圖作出正十七邊形,同時發現了可作圖多邊形的條件。正十七邊形其中一个作圖方法如下:

Heptadecagon Construction Animation

英文裏,詹·何頓·康威認為heptadecagon是錯誤的拼法,應為heptakaidecagon。

Regular Heptadecagon Using Carlyle Circle.gif

可作圖性亦同時顯示2π/17的三角函數可以只用基本算術和平方根來表示。高斯的書Disquisitiones包含了這條等式:

\operatorname{cos}{2\pi\over17}=\frac{-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}}{16}.

證明[编辑]

設正十七邊形中心角為\alpha,则17 \alpha = 360^\circ度,

16 \alpha = 360^\circ - \alpha

\sin 16\alpha = - \sin \alpha,而

\begin{align}
\sin 16\alpha & = 2\sin 8\alpha \cos 8\alpha \\
& = 2^2\sin 4\alpha \cos 4\alpha \cos 8\alpha \\
& = 2^4 \sin \alpha \cos \alpha \cos 2\alpha \cos 4\alpha \cos 8\alpha \\
\end{align}

因為\sin \alpha \ne 0,兩邊除之有

16 \cos \alpha \cos 2\alpha \cos 4\alpha \cos 8\alpha = -1

又由 2\cos \alpha \cos 2\alpha = \cos \alpha + \cos 3\alpha等,有

2(\cos \alpha + \cos 2\alpha + \cdots + \cos 8\alpha) = -1

注意到\cos 15\alpha = \cos 2\alpha\cos 12\alpha = \cos 5\alpha,令

x = \cos \alpha + \cos 2\alpha + \cos 4\alpha + \cos 8\alpha

y = \cos 3\alpha + \cos 5\alpha + \cos 6\alpha + \cos 7\alpha

有:

x + y = - \frac {1}{2}

\begin{align}
xy & = (\cos \alpha + \cos 2\alpha + \cos 4\alpha + \cos 8\alpha)(\cos 3\alpha + \cos 5\alpha + \cos 6\alpha + \cos 7\alpha) \\
& = \frac {1}{2} (\cos 2\alpha + \cos 4\alpha + \cos 4\alpha + \cos 6\alpha + \cdots + \cos \alpha + \cos 15\alpha) \\
& = -1 \\
\end{align}

所以,得

x = \frac {-1 + \sqrt{17}}{4}

y = \frac {-1 - \sqrt{17}}{4}

再設:

x_1 = \cos \alpha + \cos 4\alphax_2 = \cos 2\alpha + \cos 8\alpha

y_1 = \cos 3\alpha + \cos 5\alphay_2 = \cos 6\alpha + \cos 7\alpha

故有

x_1 + x_2 = \frac {-1 + \sqrt{17}}{4}

y_1 + y_2 = \frac {-1 - \sqrt{17}}{4}

最後,由

\cos \alpha + \cos 4\alpha = x_1

\cos \alpha \cos 4\alpha = \frac{y_1}{2}

可得\cos \alpha之表達式

\cos \alpha=\frac{-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}}{16}

它是數的加減乘除平方根的組合,故正十七邊形可用尺規作出。

Q.E.D

外部链接[编辑]

以下的幾個網頁均有介紹如何正十七邊形的尺規作圖: