半双线性形式

在数学中，在复数向量空间 V 上的半双线性形式是映射 V × V → C，它在一个参数上是线性的而在另一个参数上是反线性（半线性）的。比较于双线性形式，它在两个参数上都是线性的；要注意很多作者尤其是在只处理复数情况的时候，把半双线性形式称为双线性形式。

一个主要例子是在复数向量空间上的内积，它不是双线性的而是半双线性的。

定义和習慣

对哪个参数应当是线性的有不同的習慣。這裡采用第一个是半線性（共轭线性）而第二个参数是线性。基本上所有物理学家皆使用這習慣，這習慣起源于狄拉克在量子力学中使用的狄拉克符号。數學家則可能使用相反的習慣。

指定映射 φ : V × V → C 是半双线性的，如果

$\begin{align} &\phi(x + y, z + w) = \phi(x, z) + \phi(x, w) + \phi(y, z) + \phi(y, w)\\ &\phi(a x, b y) = \bar a b\,\phi(x,y)\end{align}$

对于所有 x,y,z,w ∈ V 和所有 a, b ∈ C。

半双线性形式可以被看作双线性形式

$\bar V \times V \to \mathbb C$

这里的 $\bar V$ 是 V 的複共轭向量空间。通过张量积的泛性质，它一一对应于(复数)线性映射

$\bar V \otimes V \to \mathbb C.$

对于 V 中固定的 z，映射 $w \mapsto \phi(z,w)$ 是在 V 上的线性泛函(也就是对偶空间 V* 的一个元素)。类似的，映射 $w \mapsto \phi(w,z)$ 是 V 上的共轭线性泛函。

给定 V 上任何半双线性形式 φ，我们可以通过共轭转置定义第二个半双线性形式 ψ:

$\psi(w,z) = \overline{\phi(z,w)}$

一般而言，ψ 和 φ 是不同的。如果它们相等，则 φ 被称为 Hermitian 形式。如果它们相互为负值，则 φ 被称为斜-Hermitian 形式。所有半双线性形式可以写为一个 Hermitian 形式和一个斜-Hermitian 形式的和。

几何动机

双线性形式一般化了平方 ($z^2 \,$)，而半双线性形式一般化了欧几里得范数 ($|z|^2 = z^*z \,$)。

关联于半双线性形式的范数在乘以复数圆(单位范数的复数)的乘法下是不变的，而关联于双线性形式的范数是(关于平方)等变的。双线性形式在代数上更加自然，而半双线性在几何上更加自然。

如果 B 是在复数向量空间上的双线性形式而 $|x|_B := B(x,x) \,$ 是关联的范数，则 $|ix|_B = B(ix,ix)=i^2 B(x,x) = -|x|_B \,$。

相反的，如果 S 是在复数向量空间上的半双线性形式而 $|x|_S := S(x,x) \,$ 是关联的范数，则 $|ix|_S = S(ix,ix)=\bar i i S(x,x) = |x|_S \,$。

埃尔米特形式

这个术语还称呼在埃尔米特流形上的特定微分形式。

埃尔米特形式(也叫做对称半双线性形式) 是半双线性形式 h : V × V → C，有着

$h(w,z) = \overline{h(z, w)}$

在 Cⁿ 上的标准埃尔米特形式为

$\langle w,z \rangle = \sum_{i=1}^n \overline{w}_iz_i.$

更一般的说，在任何希尔伯特空间上的内积都是埃尔米特形式。

如果 V 是有限维的空间，则相对于 V 的任何基 {e_i}，埃尔米特形式可表示为 埃尔米特矩阵 H:

$h(w,z) = \overline{\mathbf{w}}^T \mathbf{Hz}$

H 的分量给出为 H_ij = h(e_i, e_j)。

关联于埃尔米特形式的二次形式

Q(z) = h(z,z)

总是实数的。实际上可证明半双线性形式是埃尔米特形式，当且仅当关联的二次形式是实数的，对于所有 z ∈ V。

斜-埃尔米特形式

斜-埃尔米特形式(也叫做反对称半双线性形式)是半双线性形式 ε : V × V → C，有着

$\varepsilon(w,z) = -\overline{\varepsilon(z, w)}$

所有斜埃尔米特形式可以写为i 乘以埃尔米特形式。

如果 V 是有限维空间，则相对于任何 V 的基 {e_i}，斜埃尔米特形式可表示为斜埃尔米特矩阵 A:

$\varepsilon(w,z) = \overline{\mathbf{w}}^T \mathbf{Az}$

关联于斜埃尔米特形式的二次形式

Q(z) = ε(z,z)

总是纯虚数。