半單李代數

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數學中,單李代數是除了零和本身之外沒有其它理想的李代數半單李代數是指能表為單李代數的直和的李代數。若一個李代數能表為半單李代數與阿貝爾李代數的直和,則稱之為約化李代數。半單李代數與約化李代數是李代數研究中的主要對象。

\mathfrak{g} 為李代數,其半單性有下述刻劃:

  • \mathfrak{g} 能表為單李代數之直和。
  • Killing 形式 B(x,y) := \mathrm{Tr}(\mathrm{ad}X \, \mathrm{ad}Y) 非退化。
  • \mathfrak{g} 沒有非零的阿貝爾理想。
  • \mathfrak{g} 沒有非零的可解理想。
  • \mathrm{rad}(\mathfrak{g}) = (0)

此外,若 \mathfrak{g} 定義在零特徵的域上,則可追加一項

  • \mathfrak{g} 半單若且唯若每個 \mathfrak{g}表示都是完全可約的。

半單李代數的另一個重要性質是 [\mathfrak{g},\mathfrak{g}]=\mathfrak{g},其逆未必成立。

文獻[编辑]

  • Erdmann, Karin & Wildon, Mark. Introduction to Lie Algebras, 1st edition, Springer, 2006. ISBN 1-84628-040-0
  • Varadarajan, V. S. Lie Groups, Lie Algebras, and Their Representations, 1st edition, Springer, 2004. ISBN 0-387-90969-9

參見[编辑]