半單模

在模論中，一個環 $A$ 上的左模 $M$ 若可表為單模的直和，便稱 $M$ 為半單模。

本條目中的環皆有乘法單位元素 $1$。對於右模，相應的陳述依然成立。

等價定義

以下陳述彼此等價：

• $M$ 是單模的和。
• $M$ 是其單子模的和。
• 對每個子模 $N \subset M$，存在子模 $N' \subset M$ 使得 $M = N \oplus N'$。

性質

• 若 $M$ 是半單模，則其子模與商模亦然。
• 若 $M_i$ 是半單模，則 $\bigoplus_i M_i$ 毅然。

半單環

藉由環的乘法運算，每個環 $A$ 都可視為左（或右） $A$-模。若 $A$ 是半單 $A$-模，則稱 $A$ 為半單環。可以證明：環 $A$ 是半單左模若且唯若它是半單右模。半單環必然兼為諾特環與阿廷環。

半單環的角色之一，在於半單環 $A$ 上的模都是半單模，而且任何單左模都可嵌入 $A$ 中，成為其極小左理想。這遂大大便利了對 $A$-模結構的研究。

對於非交換環，單環未必是半單環，儘管術語上引人如此聯想。

例子

• 若 $k$ 為域、$G$ 為 $n$ 階有限群，則群代數 $k[G]$ 半單的充要條件是 $k$ 的特徵不整除 $n$。此結果是有限群表示理論的基石。
• Artin-Wedderburn 定理給出了半單環的結構：一個環 $A$ 半單若且唯若它同構於 $M_{n_1}(D_1) \times \cdots M_{n_r}(D_r)$，其中每個 $D_i$ 皆為除環、$M_{n_i}(D_i)$ 表示 $D_i$ 上的 $n_i \times n_i$ 矩陣代數。
• 設 $V$ 為域 $k$ 上之有限維向量空間，$A \in \mathrm{End}(V)$。則 $V$ 是多項式環 $k[X]$ 上的左模，結構由 $f(X) \cdot v := f(A)v$ 給出。此時 $V$ 半單的充要條件是 $A$ 在代數閉包 $\bar{k}$ 上可對角化。

文獻

• N. Bourbaki, Algèbre commutative (1983) Chapitre, VIII et IX, Masson.
• R.S. Pierce. Associative Algebras. Graduate Texts in Mathematics vol 88.
• T.Y. Lam. A First Course in Non-commutative Rings. Graduate Texts in Mathematics vol 131.