半單模

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模論中,一個 A 上的左 M 若可表為單模的直和,便稱 M半單模

本條目中的環皆有乘法單位元素 1。對於右模,相應的陳述依然成立。

等價定義[编辑]

以下陳述彼此等價:

  • M 是單模的和。
  • M 是其單子模的和。
  • 對每個子模 N \subset M,存在子模 N' \subset M 使得 M = N \oplus N'

性質[编辑]

  • M 是半單模,則其子模與商模亦然。
  • M_i 是半單模,則 \bigoplus_i M_i 毅然。

半單環[编辑]

藉由環的乘法運算,每個環 A 都可視為左(或右) A-模。若 A 是半單 A-模,則稱 A半單環。可以證明:環 A 是半單左模若且唯若它是半單右模。半單環必然兼為諾特環阿廷環

半單環的角色之一,在於半單環 A 上的模都是半單模,而且任何單左模都可嵌入 A 中,成為其極小左理想。這遂大大便利了對 A-模結構的研究。

對於非交換環,單環未必是半單環,儘管術語上引人如此聯想。

例子[编辑]

文獻[编辑]

  • N. Bourbaki, Algèbre commutative (1983) Chapitre, VIII et IX, Masson.
  • R.S. Pierce. Associative Algebras. Graduate Texts in Mathematics vol 88.
  • T.Y. Lam. A First Course in Non-commutative Rings. Graduate Texts in Mathematics vol 131.