半連續性

在數學分析中，半連續性是實值函數的一種性質，分成上半連續與下半連續，半連續性較連續性弱。

形式定義

設 $X$ 為拓撲空間，$x_0 \in X$，而 $f: X \to \R$ 為實值函數。若對每個 ε > 0 都存在 $x_0$ 的開鄰域 $U$ 使得 $\forall x \in U, \; f(x) < f(x_0) + \epsilon$，則稱 $f$ 在 $x_0$ 上半連續。該條件也可以用上極限等價地表述：

$\limsup_{x \to x_{0}} f(x) \leq f(x_{0})$

若 $f$ 在 $X$ 上的每一點都是上半連續，則稱之為上半連續函數。

下半連續性可以準此定義：若對每個 ε > 0 都存在 $x_0$ 的開鄰域 $U$ 使得 $\forall x \in U, \; f(x) > f(x_0) - \epsilon$，則稱 $f$ 在 $x_0$ 下半連續。下極限的等價表述為：

$\liminf_{x \to x_{0}} f(x) \geq f(x_{0})$

若 $f$ 在 $X$ 上的每一點都是下半連續，則稱之為下半連續函數。

拓撲基 $]-\infty, a[ \;\;(a \in \R)$ 賦予實數線 $\R$ 較粗的拓撲，上半連續函數可以詮釋為此拓撲下的連續函數。若取基為 $]a, +\infty[ \;\;(a \in \R)$，則得到下半連續函數。

例子

上半連續函數的例子（藍點表 $f(x_0)$）

考慮函數

$f(x) = \begin{cases} -1 &, x < 0 \\ 1 &, x \geq 0 \end{cases}$

此函數在 $x_0$ 上半連續，而非下半連續。

下半連續函數的例子（藍點表 $f(x_0)$）

下整數函數 $f(x)=\lfloor x \rfloor$ 處處皆上半連續。同理，上整數函數 $f(x)=\lceil x \rceil$ 處處皆下半連續。

性質

一個函數在一點連續的充要條件是它在該點既上半連續也下半連續。

若 $f, g$ 在某一 點上半連續，則 $f+g$ 亦然；若兩者皆非負，則 $fg$ 在該點也是上半連續。若 $f$ 在一點上半連續，則 $-f$ 在該點下半連續，反之亦然。

若 $X$ 為緊集（例如閉區間），則其上的上半連續函數必取到極大值，而下半連續函數必取到極小值。

設 $f_n$ 為下半連續函數序列，而且對所有 $x \in X$ 有

$f(x) = \sup_n f_n(x) < +\infty$

則 $f$ 是下半連續函數。

開集的指示函數為下半連續函數，閉集的指示函數為上半連續函數。

文獻

• Gelbaum, Bernard R.; Olmsted, John M.H. Counterexamples in analysis. Dover Publications. 2003. ISBN 0486428753. 

• Hyers, Donald H.; Isac, George; Rassias, Themistocles M. Topics in nonlinear analysis & applications. World Scientific. 1997. ISBN 9810225342.