半長軸

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橢圓的半長軸。

半長軸幾何學中的名詞,用來描述橢圓和雙曲線的維度。与之对应的就是長軸,半長軸为長軸的一半,一般描述橢圓的最長的直徑

橢圓[编辑]

一個橢圓長軸是內部最長的直徑,他會通過中心和兩個焦點,末端結束於型狀最寬處的點。半長軸是長軸的一半,始於中心點經過一個焦點並終結於橢圓的邊界。在圓型的特殊狀況下,半長軸就是半徑。

半長軸的長度a\!半短軸b\,\!的關係可以經由離心率e\,\!半正焦弦\ell\,\!推導如下:

b = a \sqrt{1-e^2}\,\!
\ell=a(1-e^2)\,\!.
a\ell=b^2\,\!.

抛物線可以被視為是橢圓的極限,將一個焦點固定,而另一個焦點被隨意的移至無窮遠處的方向上,但\ell\,\!仍保持不變。因此a\,\!b\,\!趨於無限大,a\,\!仍比b\,\!長。

半長軸是橢圓的一個焦點至邊界的最大距離和最小距離的平均值。現在考慮在極座標中的方程式,其中一個焦點位於原點,另一個焦點在x軸上,

r(1-e\cos\theta)=l\,\!.

均值由r={\ell\over{1+e}}\,\!r={\ell\over{1-e}}\,\!,是 a={\ell\over{1-e^2}}\,\!.

雙曲線(又称半实轴)[编辑]

雙曲線的半長軸是兩個分支之間距離的一半。如果a是在X-軸的方向上,則方程式可以表示為:

\frac{\left( x-h \right)^2}{a^2} - \frac{\left( y-k \right)^2}{b^2} = 1

在這個項目中的半正焦弦離心率如下:

a={\ell\over e^2-1 }

雙曲線的橫軸延伸方向與半長軸的方向一致[1]

天文學[编辑]

軌道週期[编辑]

太空動力學,以圓或橢圓軌道環繞中心天體運轉的小天體的軌道週期T,是:

T = 2\pi\sqrt{a^3/\mu}

此處:

a,是軌道的半長軸
 \mu標準重力參數

無論離心率是如何,半長軸相同的橢圓都有相同的軌道週期

天文學,是軌道軌道元素中最重要的,他決定了軌道週期。對太陽系內的天體,半長軸與軌道週期的關係由克卜勒第三定律(原本只是經驗公式)來描述:

T^2=a^3

此處T是週期,單位為a是半長軸,單位為AU。這個形式就是牛頓二體問題簡化後的形式:

T^2= \frac{4\pi^2}{G(M+m)}a^3

此處G重力常數M是中心天體的質量,而m是軌道上天體的質量。通常,當中心天體的值量遠大於環繞的天體時,m的質量可以忽略不計。座著這樣的假設和簡化之後,克卜勒發現的以天文單位簡化的形式就出現了。

值得注意的是,在軌道上的天體和主要的天體環繞著質心運動的路徑都是橢圓形。在天文學上的半長徑總是主、伴兩星之間的距離,因此行星的軌道參數都是以太陽為中心的項目。在"主體為中心"和"絕對"軌道之間的差別通過對地月系統的認是說明可以有更清楚的認識。質量的比是81.30059,地心的月球軌道半長軸是384,400公里;另一方面,"質心"的月球軌道半長軸是379,700公里,兩著的差別是4,700公里。月球相對於質心的平均軌道速度是1.010公里/秒,地球是0.012公里/秒,兩者之和是1.022公里/秒;同樣的,以地心的半長軸得到的月球軌道速度也是1.022公里/秒。

平均距離[编辑]

經常會說半長軸是主伴兩天體的平均距離,其實這樣說是不夠精確的,這與如何取得平均值有關。

  • 偏近點角(q.v.)的平均距離的確就是半長軸。
  • 真近點角(從焦點上測量的真實軌道角度)的結果,說也奇怪,是軌道半短軸b = a \sqrt{1-e^2}\,\!
  • 最後,是對平近點角(以角度表示,經過近心點之後所經歷軌道週期的分數),是對時間的平均數(通常是對門外漢所謂的"平均"):a(1 + \frac{e^2}{2})\,\!

橢圓的平均半徑,是以幾何上的中心來測量的,其值為\sqrt{ab} = a\sqrt[4]{1-e^2}\,\!

時間的平均值與半徑成反比,r^{-1}\,\!,是a^{-1}\,\!

能量:由狀態向量的半長軸計算[编辑]

太空動力學半長軸a ,可以從軌道狀態向量得到:

 a = { - \mu \over {2\epsilon}},(橢圓軌道)

 a = {\mu \over {2\epsilon}},(雙曲線彈道)

 \epsilon = { v^2 \over {2} } - {\mu \over \left | \mathbf{r} \right |} (特殊軌道能量

 \mu = GM ,(標準重力參數),

此處:

  •  v,是從速度向量得到的軌道上物體的軌道速度,
  •  \mathbf{r },是在迪卡兒參考座標系上相對於位置向量用於計算的軌道元素(即,對環繞地球的物體是以地球中心和赤道為基準,或對環繞太陽的天體是以太陽中心和黃道為基準),
  •  G ,是重力常數
  •  M ,是中心天體的質量。

要注意的是,對特定的中心天體和總比能,無論離心率是多少,半長軸是一個定值。換言之,對特定的一個中心天體和半長軸,則具有的總比能是一定的。

例子[编辑]

國際太空站International Space Station,ISS)的軌道週期是91.74分,它的軌道半長軸是6,738公里[1] 。Every minute more corresponds to ca. 50 km more: the extra 300 km of orbit length takes 40 seconds, the lower speed accounts for an additional 20 seconds.

外部鏈結[编辑]

參考資料[编辑]