单位圆

单位圆。变量 t 是角度

在数学中，单位圆是指半径为单位长度的圆，通常为欧几里得平面直角坐标系中圆心为（0,0）、半径为 1 的圆。单位圆对于三角函数和复数的坐标化表示有着重要意义。单位圆通常表示为 S¹。多维空间中，单位圆可推广为单位球。

如果单位圆上的点 (x, y) 位于第一象限，那么 x 与 y 是斜边长度为 1 的直角三角形的两条边，根据勾股定理，x 与 y 满足方程：

$x^2 + y^2 = 1 \,\!$

由于对于所有的 x 来说 x² = (−x)²，并且所有这些点相对于 x 轴或者 y 轴的反射点也都位于单位圆上，因此单位圆上的所有点都满足上面的方程。

单位圆与三角函数 [编辑]

事实上，不仅仅是正弦与余弦，而且所有六个标准三角函数—正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan）、余切（cot）、正割（sec）、余割（csc）以及不常用正矢（versin）与外正割（exsec）—都可以在单位圆表示出来。

在直角三角形中，正弦、余弦以及其它三角函数只有当角度大于 0 且小于 π/2 时才有意义。但是，在单位圆上，对于任意的实数角度，这些函数都有直观的意义。

角度 θ 的所有三角函数都可以在圆心为 0 的单位圆上表示出来。

设 (x, y) 是单位圆上的一个点。设角 t的起始边为x 轴的正方向，角度按照逆时针方向测量。那么角 t的终边和单位圆会有一个交点。因此：

$\cos(t) = x \,\!$

$\sin(t) = y \,\!$

另外，从 x² + y² = 1 可以得到

$\cos^2(t) + \sin^2(t) = 1 \,\!$

从这里还可以直观地看出正弦函数与余弦函数都是周期函数，对于任意的整数 k 有恒等式

$\cos t = \cos(2\pi k+t) \,\!$

$\sin t = \sin(2\pi k+t) \,\!$

单位圆上感兴趣的点

这些恒等式的依据是在角度 t 增加任意圈数或者减小任意圈数的时候 x与 y坐标保持不变。一圈 = 2π 弧度。

复数也可以用欧几里得平面内的点来表示，a + bi 表示为 (a, b)。在这种表示下，单位圆是不断增加的群，在数学以及科学领域这个群有很重要的应用。