单位圆

单位圆。变量 t 是角度

在数学中，单位圆是半径为单位长度的圆。在三角学中，单位圆通常是指欧几里得平面直角坐标系中圆心为 （0,0）、半径为 1 的圆。单位圆通常表示为 S¹，更加普遍意义上的多维单位圆为单位球。

如果单位圆上的点 (x, y) 位于第一象限，那么 x 与 y 是斜边长度为 1 的直角三角形的两条边，根据勾股定理，x 与 y 满足方程：

$x^2 + y^2 = 1 \,\!$

由于对于所有的 x 来说 x² = (−x)²，并且所有这些点相对于 x 轴或者 y 轴的反射点也都位于单位圆上，因此单位圆上的所有点都满足上面的方程。

单位圆上的三角函数

角度 θ 的 所有三角函数都可以在圆心为 0 的单位圆上表示出来。

三角函数正弦函数与余弦函数可以用如下方法定义。 如果 (x, y) 是单位圆上的一个点，并且从圆心 （0,0）到 (x,y）与 x 轴的正向组成一个角 t（这个角度按照逆时针方向测量），那么

$\cos(t) = x \,\!$

$\sin(t) = y \,\!$

从 x² + y² = 1 可以得到

$\cos^2(t) + \sin^2(t) = 1 \,\!$

从这里还可以直观地看出正弦函数与余弦函数都是周期函数，对于任意的整数 k 有恒等式

$\cos t = \cos(2\pi k+t) \,\!$

$\sin t = \sin(2\pi k+t) \,\!$

单位圆上感兴趣的点

这些恒等式的依据是在角度 t 增加任意圈数或者减小任意圈数的时候 x与 y坐标保持不变。一圈 = 2π 弧度。

在直角三角形中，正弦、余弦以及其它三角函数只有当角度大于 0 且小于 π/2 时才有意义。但是，在单位圆上，对于任意的实数角度，这些函数都有直观的意义。

事实上，不仅仅是正弦与余弦，而且所有六个标准三角函数—正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan）、余切（cot）、正割（sec）、余割（csc）以及不常用正矢（versin）与外正割（exsec）—都可以在单位圆表示出来。

圆群

复数也可以用欧几里得平面内的点来表示，a + bi 表示为 (a, b)。在这种表示下，单位圆是不断增加的群，在数学以及科学领域这个群有很重要的应用。

参见

• 三角函数
• 角
• 单位球
• 单位正方形
• 单位圆盘
• 圆群

半径为单位长度的单位圆与直径为单位长度的圆，前者周长为 2 π，后者为 π。