单位根

复平面上的三次单位根

数学上，單位的 $n \,$次根是$n\,$次冪為 $1 \,$的複數。它們位於複平面的单位圆上，構成正n邊形的頂點，其中一個頂點是 $1 \,$。

定义

$z^n = 1 \qquad (n = 1, 2, 3, \cdots )$

这方程的複數根 $z \,$為單位的 $n \,$次根。

單位的 $n \,$次根有 $n \,$個：

$e^{\frac{2 \pi k {\mathrm{i}} }{n} } \qquad (k = 0, 1, 2, \cdots, n - 1)$。

本原根

單位的 $n \,$次根以乘法構成n階循環群。它的生成元是單位的 $n \,$次本原根。單位的 $n \,$次本原根是$e^{\frac{ 2 \pi k {\mathrm{i}} }{n} }$，其中$k\,$和$n\,$互質。單位的$n\,$次本原根數目為歐拉函數$\varphi (n)$。

例子

單位的一次根有一個$1 \,$。

單位的二次根有兩個：$+1\,$和$-1\,$，只有$-1\,$是本原根。

單位的三次根是

$\left\{ 1, \frac{-1+ \sqrt{3}{\mathrm{i}}}{2}, \frac{-1-\sqrt{3}{\mathrm{i}}}{2} \right\} ,$

其中${\mathrm{i}} \,$是虚數單位；除$1\,$外都是本原根。

單位的四次根是

$\left\{ 1, +{\mathrm{i}}, -1, -{\mathrm{i}} \right\} ,$

其中$+{\mathrm{i}} \,$和$-{\mathrm{i}}\,$是本原根。

和式

當$n\,$不小於$2\,$，單位的$n\,$次根總和為$0\,$。這一結果可以用不同的方法證明。一個基本方法是等比級數：

$\sum_{k=0}^{n-1} e^{\frac{ 2 \pi k {\mathrm{i}} }{n} } = \frac{e^{\frac{ 2 \pi k {\mathrm{n}} }{n} } - 1}{e^{\frac{ 2 \pi k {\mathrm{i}} }{n} } - 1} = \frac{1-1}{e^{\frac{ 2 \pi k {\mathrm{i}} }{n} } - 1} = 0$。

第二個證法是它們在複平面上構成正多邊形的頂點，而從對稱性知這多邊形的重心在原點。

還有一個證法利用關於方程根與係數的韋達定理，由分圓方程的$x^{n-1}\,$項係數為零得出。