单叶函数

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单叶函数univalent function)是數學領域中的複分析對函數的一種分類,若一全純函數的定義域為複數平面中的一開集,而函數為单射函數,此函數即為单叶函数。

f為一全純函數,且滿足下式

\forall x_1,x_2: x_1 \neq x_2 \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2)

f為单叶函数。

舉例[编辑]

任何由開集单位圆盘映射到本身的映射\phi_a(z) =\frac{z-a}{1 - \bar{a}z}(其中|a|\le 1)為单叶函数。

基本性質[编辑]

G\Omega為二個複數平面中的開集連通空間,且

f: G \to \Omega

是一個滿足f(G) = \Omega的單葉函數(有一對一的對應關係),則f導數恆不為0,f可逆,而且其逆元素f^{-1}也是全純函數。依链式法则可得到下式:

(f^{-1})'(f(z)) = \frac{1}{f'(z)}

對所有G.中的複數z皆成立。

和實函數的比較[编辑]

實解析函數和全純函數不同,上述的性質在實解析函數中不成立,考慮以下的函數:

f: (-1, 1) \to (-1, 1) \,

ƒ(x) = x3。此函數也是单射函數,但在x = 0處其導數為0,其逆元素在 (−1, 1)區間中也不完全是解析函數,也不完全可微。

參考資料[编辑]

  • John B. Conway. Functions of One Complex Variable I. Springer-Verlag, New York, 1978. ISBN 0-387-90328-3.
  • John B. Conway. Functions of One Complex Variable II. Springer-Verlag, New York, 1996. ISBN 0-387-94460-5.