单射

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索
單射但非满射的函數(不是双射函数)
單射且满射的函數(是双射函数)
非單射但满射的函數(是满射函数)

數學裡,單射函數(Injection)為一函數,其將不同的輸入值對應到不同的函數值上。更精確地說,函數f被稱為是單射的,當對每一陪域內的y,存在至多一個定義域內的x使得f(x) = y

另一種說法為,f為單射,當若f(a) = f(b),則a = b(或若ab,則f(a) ≠ f(b)),其中a, b屬於定義域。

例子與反例[编辑]

  • 對任一集合XX上的恆等函數為單射的。
  • 函數f : R → R,其定義為f(x) = 2x + 1,是單射的。
  • 函數g : R → R,其定義為g(x) = x2,不是單射的,因為g(1) = 1 = g(−1)。但若將g的定義域限在非負實數[0,+∞)內,則g是單射的。
  • 指數函數\exp : \mathbf{R} \to \mathbf{R}^+ : x \mapsto \mathrm{e}^x是單射的。
  • 自然對數函數\ln : (0,+\infty) \to \mathbf{R} : x \mapsto \ln{x}是單射的。
  • 函數g : \mathbf{R} \to \mathbf{R} : x \mapsto x^3 - x,不是單射的,因為 g(0) = g(1)。

形象化地說,當定義域和到達域都是實數集 R時,單射函數f : R → R為一絕不會與任一水平線相交超過一點的圖。

單射函數為可逆函數[编辑]

另一單射函數的定義為其作用可取消的函數。更精確地說,f : X → Y為單射,若存在一函數g : Y → X,使得對所有X內的xg(f(x)) = x,亦即g o f 是X上的恆等函數的限制。

注意,g不一定是f反函數,因為複合f o g不一定是在Y上的恆等函數。

事實上,要將一單射函數f : X → Y變成雙射函數,只需要將其陪域Y替換成其值域J = f(X)就行了。亦即,令g : X → J,使其對所以X內的xg(x) = f(x);如此g便為滿射的了。確實,f可以分解成inclJ,Yog,其中inclJ,Y是由JY內含映射

其他性質[编辑]

  • fg皆為單射的,則f o g亦為單射的。
單射複合
  • g o f為單射的,則f為單射的(但g不必然要是)。
  • f : X → Y是單射的若且唯若當給定兩函數g, h : W → X會使得f o g = f o h時,則g = h
  • f : X → Y為單射的且AX子集,則f −1(f(A)) = A
  • f : X → Y是單射的且AB皆為X的子集,則f(A ∩ B) = f(A) ∩ f(B)。
  • 任一函數 h : W → Y 皆可分解為 h = f o g 其中 f 是單射而 g 是滿射。此分解至多差一個自然同構, f 可以設想為從 h(W) 到 Y內含映射
  • f : X → Y 是單射,則在基數的意義下 Y 的元素數量不少於 X
  • XY 皆為有限集,則 f : X → Y 是單射若且唯若它是滿射。
  • 內含映射總是單射。

範疇論的觀點[编辑]

範疇論的語言來說,單射函數恰好是集合範疇內的單態射

另見[编辑]