单纯复形

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一个3维单纯复形

单纯复形拓扑学中的概念,指由线段三角形单纯形“粘合”而得的拓扑对象。单纯复形不应当与范畴同伦论中的单纯集合混淆。

定义[编辑]

单纯复形\mathcal{K}是由一组单纯形构成的集合,并且须要满足下列条件[1]:119

  1. \mathcal{K}的每一个单纯形的都是\mathcal{K}中的元素。
  2. \mathcal{K}中任何两个元素\sigma_1 , \sigma_2 \; \in \mathcal{K}交集是它们公有的一个面。

需要注意的是,约定空集是任何单纯形的面,所以两个不相交的单纯复形也可以被看作是一个单纯复形。通常的定义中,单纯复形是有限个单纯形的集合。但有些上下文中,也会在附加某些局部有限性条件的前提下,定义无限个单纯形依照类似的定义构成的单纯复形[1]:120

如果某个单纯复形\mathcal{K}中包含的最大维度的单纯形是k维单纯形,则称\mathcal{K}k维单纯复形[1]:120。例如2维单纯复形中必然含有三角形,且必然不含有四面体等更高维度的单纯形。

如果某个k维单纯复形\mathcal{K}中,任何维数小于k的单纯形都只是某个k维单纯形的一个面,则称\mathcal{K}k维单纯复形齐次k维单纯复形。这个定义是指没有“混杂”多种单纯形的单纯复形。比如齐次2维单纯复形是指由“一连串”的三角形拼接成的单纯复形。齐次3维单纯复形则是由“一连串”的四面体拼接成的单纯复形。如果某个单纯复形由一个三角形、一个四面体和两个线段拼接而成,则不是齐次的单纯复形。

单纯复形\mathcal{K}中的极大面,指的是不属于\mathcal{K}中另一个维数更高的单纯形的面。比如在齐次3维单纯复形中,每个四面体都是极大面,而其中的三角形或线段都不是极大面。

一个单纯复形中含有的各种单纯形的集合,也称为它的底材空间或支持空间。

参见[编辑]

参考来源[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 Ethan D. Bloch. A First Course in Geometric Topology and Differential Geometry. Springer. 1997. ISBN 9780817638405.