单调函数

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单调递增函数。
单调递减函数。
非单调函数。

数学中在有序集合之间的函数是单调(monotone)的,如果它们保持给定的次序。这些函数最先出现在微积分中后来推广到序理论中更加抽象结构中。尽管概念一般是一致的,两个学科已经发展出稍微不同的术语。在微积分中,我们经常说函数是单调递增单调递减的,在序理论中偏好术语单调反单调序保持序反转

一般定义[编辑]

f: PQ

是在两个带有偏序≤的集合PQ之间的函数。在微积分中,它们是带有平常次序的实数集的子集之间的函数,但是定义仍保持同更一般的序理论定义一样。

函数f单调的,如果只要xy,则f(x) ≤ f(y)。因此单调函数保持次序关系。

微积分和实分析中的单调性[编辑]

微积分学
\int_M \mathrm{d}\omega = \oint_{\partial M} \omega
函数 · 导数 · 微分 · 积分

在微积分中,经常不需要诉诸序理论的抽象方法。如上所述,函数通常是按自然次序排序的实数集的子集之间的映射。

受在实数上的单调函数的的形状的启发,这种函数也叫做单调递增的(或"非递减"的)。类似的,函数叫做单调递减的(或"非递增"的),如果只要x < y,则f(x) ≥ f(y),就说它反转了次序。

如果把定义中的次序≥替换为严格次序>,则得到了更严格的要求。有这样性质的函数叫做严格递增的。还有通过反转序符号,可以得到对应的严格递减。严格递增或递减的函数是一一映射(因为a < b蕴涵a \neq b)。

要避免把术语非递减和非递增混淆于严格递增和严格递减。

序理论中的单调性[编辑]

在序理论中,不限制于实数集合,可以考虑任意偏序集合甚至是预序集合。在这些情况下上述定义同样适用。但是要避免术语"递增"和"递减",因为一旦处理的不是全序的次序就没有了吸引人的图像动机。进一步的,严格关系<和>在多数非全序的次序中很少使用,因此不介入它们的额外术语。

单调(monotone)函数也叫做isotone序保持函数。对偶概念经常叫做反单调antitone序反转。因此,反单调函数f满足性质

xy蕴涵f(x) ≥ f(y),对于它的定义域中的所有xy。容易看出两个单调函数的复合也是单调的。

常数函数是单调的也是反单调的;反过来,如果f是单调的也是反单调的,并且如果f的定义域是,则f必定是常量函数。

单调函数是序理论的中心。它们大量出现于这个主题的文章和在这些地方的找到的应用中。著名的特殊单调函数是序嵌入xy当且仅当f(x) ≤ f(y)的函数)和序同构双射序嵌入)。

引用[编辑]

  • Pemberton, Malcolm; Rau, Nicholas. Mathematics for economists: an introductory textbook. Manchester University Press. 2001. ISBN 0719033411.