卡倫數

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卡倫數是形式如n \times 2^n+1(寫作C_n)的自然數

質數p=8k-3=2n-1C_n能被p整除。根據費馬小定理,若p是質數,p能整除C_{m(k)}對於m(k)=(2^k-k)(p-1) - k (對於k>0)。

廣義卡倫數有時定義為n \times b^n + 1而且n + 2 > b胡道爾數有時稱為第二種卡倫數。

歷史和卡倫質數[编辑]

1905年,詹姆士·卡倫首先研究它。

1958年Raphael M. Robinson核實C_{141}是質數,且證明了若n \le 1000,除了C_1C_{141}之外,C_n均為合成數

1984年Wilfrid Cellar又類似地核實了C_{4713}, C_{5611}, C_{5795}, C_{18496} 和以上提到的卡倫質數之外,n \le 30000C_n均為合成數。

截止2009年4月,已知的卡倫質數有141, 4713, 5795, 6611, 18496, 32292, 32469, 59656, 90825, 262419, 361275, 481899, 1354828 (OEIS:A005849),n=1354000以下的卡倫質數已被找到。可是,「存在無限個卡倫質數」這問題仍屬猜想。

是否存在質數p使得C_p為質數同樣為疑問。

參考[编辑]

  • Cullen, James (1905). Question 15897. Educ. Times (December 1905), 534.