卡倫數

卡倫數是形式如$n \times 2^n+1$（寫作C_n）的自然數。

若質數p = 8k − 3 = 2n − 1，C_n能被p整除。根據費馬小定理，若p是奇質數，p能整除C_m(k)對於m(k) = (2^k − k)(p − 1) − k (對於k > 0)。

廣義卡倫數有時定義為$n \times b^n + 1$而且n + 2 > b。胡道爾數有時稱為第二種卡倫數。

歷史和卡倫質數

1905年，詹姆士·卡倫首先研究它。

1958年Raphael M. Robinson核實C₁₄₁是質數，且證明了若$n \le 1000$，除了C₁和C₁₄₁之外，C_n均為合成數。

1984年Wilfrid Cellar又類似地核實了C₄₇₁₃,C₅₆₁₁,C₅₇₉₅,C₁₈₄₉₆ 和以上提到的卡倫質數之外，$n \le 30000$的C_n均為合成數。

截止2009年4月，已知的卡倫質數有141, 4713, 5795, 6611, 18496, 32292, 32469, 59656, 90825, 262419, 361275, 481899, 1354828 (OEIS:A005849)，n=1354000以下的卡倫質數已被找到。可是，「存在無限個卡倫質數」這問題仍屬猜想。

是否存在質數p使得C_p為質數同樣為疑問。

參考

• Cullen, James (1905). Question 15897. Educ. Times (December 1905), 534.