卡布列克數

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卡布列克數(Kaprekar number)是具有以下性質的數:

對於某個正整數X在n進位下存在正整數 A, B 及 m,且

  • 0 < B < b^n
  • X^2 = A n^m + B
  • X = A + B

簡單的說,若正整數X在n進位下的平方可以分割為二個數字,而這二個數字相加後恰等於X,那麼X就是n進位下的卡布列克數。

例如 297 在十進位下是卡布列克數,因為297^2 = 88209,可以分割成 88 及 209,且 88+209=297。不過 100 在十進位下不是卡布列克數,雖然100^2 = 10000,可以分割成 100 及 00,但 00 不是正整數。

在十進位下,幾個較小的卡布列克數如下(OEIS中的数列A006886):

1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, 999, 2223, 2728, 4879, 4950, 5050, 5292, 7272, 7777, 9999, 17344, 22222, 38962, 77778, 82656, 95121, 99999, 142857, 148149, 181819, 187110, 208495, 318682, 329967, 351352, 356643, 390313, 461539, 466830, 499500, 500500, 533170

二進位下,所有的完全數都是卡布列克數。

有时候,人们会把6174这个数称作卡布列克數,而其实这是卡布列克常数

另一種卡布列克數[编辑]

對於某個正整數X在n進位下存在正整數 A, B 及 m,且

  • 0 < B < b^n
  • X = A n^m + B
  • X = (A + B)^2

簡單的說,若正整數X在n進位下可以分割為二個數字,而這二個數字相加的平方後恰等於X,那麼X就是n進位下的卡布列克數。 以2025為例,2025可拆為20和25,20+25=45,452=2025,因此2025為卡普列加数。

此定義下的卡布列克數其實就是第一種定義下卡布列克數的平方。例如2025就是45的平方,而45就是第一種定義下的卡布列克數。

前幾個卡普列加数是

81, 100, 2025, 3025, 9801, 10000, 88209……(OEIS中的数列A102766

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