卡拉比-丘流形

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卡拉比–丘流形的3維投影

卡拉比–丘流形(Calabi–Yau manifold)在数学上是一个的第一陈类为0的紧致n凯勒流形(Kähler manifolds),也叫做卡拉比–丘 n-流形。数学家卡拉比(Eugenio Calabi)在1957年猜想所有这种流形(对于每个凯勒类)有一个里奇平坦流形的度量,该猜想于1977年被丘成桐证明,成为丘定理(Yau's theorem)。因此,卡拉比–丘流形也可定义为「紧里奇平坦卡拉比流形」(compact Ricci-flat Kähler manifold)。

也可以定义卡拉比–丘n流形为有一个SU(n)和樂(holonomy)的流形。再一个等价的定义是流形有一个全局非0的全纯(n,0)-形式

例子[编辑]

在复一维的情况,唯一的例子就是环面族。注意环上里奇平坦的度量就是一个平坦度量,所以和乐群(holonomy)是平凡群,也叫SU(1)。

在复二维的情形,环T4K3曲面组成了仅有的实例。T4有时不被算作卡拉比–丘流形,因为其和乐群(也是平凡群)是SU(2)的子群而不是同构于SU(2)。从另一方面讲,K3曲面的和乐群是整个SU(2),所以他可以真正成为2维的卡拉比–丘流形。

在复三维的情况,可能的卡拉比–丘流形的分类还是未解决的问题。3维卡拉比–丘流形的一个例子是复射影空间CP4中的非奇异的五次超曲面。

在弦论中的应用[编辑]

卡拉比–丘流形对于超弦理论很重要。在最常规的超弦模型中,弦论中有十个猜想中的维度,作为我们所知的4个维度出现,在加上某种纤维化,纤维的维度为6。卡拉比–丘n-流形的紧致化很重要,因为他们保持一些原有的超对称性不被破坏。更精确地说,卡拉比–丘 3-流形(实维度6)的紧致化保持四分之一的原有超对称性不变。

参看[编辑]

文獻[编辑]

外部連結[编辑]