卡方分佈

卡方分布

機率 密度 函數
累積分布函數
參數	$k > 0\,$ 自由度
值域	$x \in [0; +\infty)$，
概率密度函数	$\frac{(1/2)^{k/2}}{\Gamma(k/2)} x^{k/2 - 1} e^{-x/2}$，
累積分布函數	$\frac{\gamma(k/2,x/2)}{\Gamma(k/2)}$，
标记	{{{notation}}}
期望值	$k$，
中位數	大约$k-2/3$，
眾數	$k-2\,$，如果$k\geq 2$，
方差	$2\,k$，
偏態	$\sqrt{8/k}$，
峰態	$12/k$，
熵值	$\frac{k}{2}\!+\!\ln(2\Gamma(k/2))\!+\!(1\!-\!k/2)\psi(k/2)$
動差生成函數	$(1-2\,t)^{-k/2}$，$2\,t<1$，
特徵函數	$(1-2\,i\,t)^{-k/2}$，

卡方分布（$\chi^2$分布）是概率论与统计学中常用的一种概率分布。k个独立的标准正态分布变量的平方和服从自由度为k的卡方分布。卡方分布常用于假设检验和置信区间的计算。

卡方分布被用于计算拟合优度，于观察到的分布和假设成立的分布之间；估算总体标准偏差(population standard deviation)和样本标准偏差(sample standard deviation)的区间。

卡方分布是一种特殊的伽玛分布。

数学定义

若k个随机变量$Z_1$、……、$Z_k$是相互独立，符合标准正态分布的随机变量（数学期望为0、方差为1），则随机变量X的平方和

$X=\sum_{i=1}^k Z_i^2$

被称为服从自由度为k的卡方分布，记作

$X\ \sim\ \chi^2(k). \,$

特征

卡方分布的概率密度函数为：

$f_k(x)= \frac{(1/2)^{k/2}}{\Gamma(k/2)} x^{k/2 - 1} e^{-x/2}$

其中x≥0，当x≤0时$f_k(x)=0$。这里Γ代表Gamma函数。

卡方分布的累积分布函数为：

$F_k(x)=\frac{\gamma(k/2,x/2)}{\Gamma(k/2)}$，

其中γ(k,z)为不完全Gamma函数

在大多数涉及卡方分布的书中都会提供它的累积分布函数的对照表。此外许多表格计算软件如OpenOffice.org Calc和Microsoft Excel中都包括卡方分布函数。

卡方分布可以用来测试随机变量之间是否相互独立，也可用来检测统计模型是否符合实际要求。

自由度为k的卡方变量的平均值是k，方差是2k。 卡方分布是伽玛分布的一个特例，它的熵为：

$H = \int_{-\infty}^\infty f(x)\ln(f(x)) dx = \frac{k}{2} + \ln \left( 2 \Gamma \left( \frac{k}{2} \right) \right) + \left(1 - \frac{k}{2}\right) \psi(k/2)$

其中$\psi(x)$是雙伽瑪函數。

卡方變數與Gamma變數的關係 當Gamma變數 頻率（λ）為1/2時，α的2倍為卡方變數之自由度（Degree of freedom） 即:

$r.v. Y = \chi^2 \left(U\right) = \Gamma \left( \frac{U}{2} , \frac{1}{2}\right)$

$E \left( \chi^2 \left(U\right) \right) = E \left( Y \right) = \frac{\alpha}{\lambda} = \frac{\frac{U}{2}}{\frac{1}{2}} = U$

$Var \left( \chi^2 \left(U\right) \right) = Var \left( Y \right) = \frac{\alpha}{\lambda^2} = \frac{\frac{U}{2}}{\left(\frac{1}{2}\right)^2} = 2U$

卡方變數之期望值＝自由度 卡方變數之方差＝两倍自由度

外部链接

• 分布计算器（英文）