卡比博-小林-益川矩阵

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粒子物理學中的味

味量子數： 同位旋：I或I3 魅數：C 奇異數：S 頂數：T 底數：B' 相關量子數： 重子數：B 輕子數：L 弱同位旋：T或T3 電荷：Q 組合： 超荷：Y Y=(B+S+C+B'+T) Y=2(Q−I3) 弱超荷：YW YW=2(Q−T3) X+2YW=5(B−L) 味混合 CKM矩陣 PMNS矩陣 味互补性

卡比博-小林-益川矩阵（Cabibbo-Kobayashi-Maskawa，CKM或KM matrix）是粒子物理标准模型的一个重要组成成份，它表征了顶类型和底类型夸克间通过W粒子弱相互作用的耦合强度。对二代夸克情形，它是由意大利物理学家卡比博在1963年首先给出的，通常被称为卡比博矩阵或卡比博角。1973年日本物理学家小林诚和益川敏英把它推广到三代夸克。三代矩阵含有相位，可以用来解释弱相互作用中的电荷宇称对称性破缺（CP破坏），也被经常用来解释宇宙重子数不对称。CKM矩阵在轻子中的对应是牧-中川-坂田矩阵（Maki-Nakagawa-Sakata或MNS）。

内容

历史

早期的粒子物理模型包涵三种夸克—上夸克、下夸克和奇异夸克。在研究强子的弱衰变中，人们发现奇异数守恒的过程要比不守恒的过程进行得快约20倍。为解释此现象，卡比博引入了一个下夸克和奇异夸克（这两种夸克有相同的量子数）之间的混合角θ_c。上夸克与下夸克和奇异夸克的相互作用耦合分别正比于此角的余弦（cosθ_c）和正弦（sinθ_c）。实验上sinθ_c约为0.23。

1973年，在一篇发表在日本期刊《理论物理学进展》上的题为“弱相互作用可重整化理论中的CP破坏”的论文中，小林诚和益川敏英把卡比博角推广到三代夸克。他们发现虽然一般的三维幺正矩阵有九个实参数，但是只有四个具有物理意义，而其它的都可以被吸收到夸克波函数的位相中而不为观测。四个物理参数中的一个是位相因子，它提供了CP破坏的微观机制，同時猜测了第三代夸克的存在，因此具有重大的物理意义。他们二人也因而与南部阳一郎分享了2008年诺贝尔物理学奖。

如今，寻找CKM矩阵参数的微观物理起源是粒子物理理论研究的重大课题之一。

参数化表示

CKM矩阵是一个三维幺正矩阵。 小林诚和益川敏英当初给的表示是:

$\begin{bmatrix} cos\theta_1 & -sin\theta_1 cos\theta_3 & -sin\theta_1 sin\theta_3 \\ sin\theta_1 cos\theta_2 & cos\theta_1 cos\theta_2 cos\theta_3 - sin\theta_2 sin\theta_3 e^{i\delta} & cos\theta_1 cos\theta_2 sin\theta_3 + sin\theta_2 cos\theta_3 e^{i\delta}\\ sin\theta_1 sin\theta_2 & cos\theta_1 sin\theta_2 cos\theta_3 + cos\theta_2 sin\theta_3 e^{i\delta} & cos\theta_1 sin\theta_2 sin\theta_3 - cos\theta_2 cos\theta_3 e^{i\delta} \end{bmatrix}$

在标准参数化下，它可以由三个混合角（θ₁₂，θ₁₃，θ₂₃）和一个相位（δ）表示为

$\begin{bmatrix} V_{ud} & V_{us} & V_{ub} \\ V_{cd} & V_{cs} & V_{cb}\\ V_{td} & V_{ts} &V_{tb} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c_{12}c_{13} & s_{12} c_{13} & s_{13}e^{-i\delta_{13}} \\ -s_{12}c_{23} - c_{12}s_{23}s_{13}e^{i\delta_{13}} & c_{12}c_{23} - s_{12}s_{23}s_{13}e^{i\delta_{13}} & s_{23}c_{13}\\ s_{12}s_{23} - c_{12}c_{23}s_{13}e^{i\delta_{13}} & -c_{12}s_{23} - s_{12}c_{23}s_{13}e^{i\delta_{13}} & c_{23}c_{13} \end{bmatrix}.$

其中（u，c，t）和（d，s，b）分别代表三代顶类型（上、粲、顶）和底类型（下、奇异、底）夸克，c₁₂，s₁₂等是cosθ₁₂，sinθ₁₂等的简写。 目前实验给出的数据：

θ₁₂ = 13.04±0.05°

θ₁₃ = 0.201±0.011°

θ₂₃ = 2.38±0.06°

δ₁₃ = 1.20±0.08

实验上CKM矩阵参数满足s₁₃<<s₂₃<<s₁₂<<1。 描写这一重要特性的一个常用参数化表示是由美国物理学家沃尔芬斯坦（Wolfenstein）给出的。记

$s_{12}=\lambda=\frac{|V_{us}|}{\sqrt{|V_{ud}|^2+|V_{us}|^2}},\quad s_{23}=A\lambda^2=\lambda\left|\frac{V_{cb}}{V_{us}}\right|,\,\,$

$s_{13}e^{i\delta}=V_{ub}^*=A\lambda^3(\rho+i\eta)={\frac{A\lambda^3(\bar\rho+i\bar\eta)(1-A^2\lambda^4)^{1/2}} {(1-\lambda^2)^{1/2}[1-A^2\lambda^4(\bar\rho+i\bar\eta)]}},$

截止到λ³，CKM矩阵为

$\begin{bmatrix} 1-\lambda^2/2 & \lambda & A\lambda^3(\rho-i\eta) \\ -\lambda & 1-\lambda^2/2 & A\lambda^2 \\ A\lambda^3(1-\rho-i\eta) & -A\lambda^2 & 1 \end{bmatrix}.$

么正三角形

CKM矩阵也可用所谓的幺正三角形来图像表示。最常见的是正交关系

$V_{ud}V_{ub}^*+V_{cd}V_{cb}^*+V_{td}V_{tb}^*=0$

用测量最精确的项（V_cdV^*_cb）来归一，此关系可以表示为复平面上的三角形，其三顶点坐标分别为（0，0），（1，0） 和（$\bar\rho$，$\bar\eta$），如右图所示。它的面积与位相参数表示化无关，是刻划CP破坏的不变量。文献中称之为雅尔斯廓格（Jarlskog）不变量。

数学推导

CKM矩阵的数学推导相当平庸。首先任意一个三维矩阵可以写成欧拉形式V=V₂V₁V₃，其中对角块矩阵V₁，V₂，V₃有以下形式（X代表非零元）

$V_1=\begin{bmatrix} X & X & 0 \\ X & X & 0 \\ 0 & 0 & X \end{bmatrix},\quad V_{2,3}=\begin{bmatrix} X & 0 & 0 \\ 0 & X & X \\ 0 & X & X \end{bmatrix}$

其次注意到任意一个二维幺正矩阵可以表为（ε，η，ρ为幺模复数，c=cosθ，s=sinθ）

$U=\begin{bmatrix} \epsilon c & \epsilon\eta s \\ -\rho s & \rho\eta c \end{bmatrix}$

由此

$\begin{bmatrix} \epsilon^* & 0 \\ 0 & \rho^* \end{bmatrix} U \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \eta^* \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c & s \\ -s & c \end{bmatrix}$

因此可以通过一系列对角幺正矩阵作矩阵变换

$V\rightarrow DVD'=DV_2D''D''^*V_1D'''^*D'''V_3D' = V_2'V_1'V_3'$

使得

$V_2'=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & c_2 & -s_2 \\ 0 & s_2 & c_2 \end{bmatrix},\quad V_3'=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & c_3 & s_3 \\ 0 & -s_3 & c_3 \end{bmatrix}$

在上式中V₂'仍是与V₂同形的一般幺正矩阵， 但可以继续在V上左、右相乘与V₂'和V₃'对易的对角矩阵，即 diag（α，β，β）型矩阵（α，β幺模），使得

$V_1'=\begin{bmatrix} c_1 & s_1 & 0 \\ -s_1 & c_1 & 0 \\ 0 & 0 & e^{i\delta} \end{bmatrix}$

最后将所有的对角（相位）变换矩阵吸收到夸克波函数中去，V₂'，V₁'，V₃'相乘即得CKM矩阵。

参数测量

CKM矩阵元实验测定和最新数据的详细资料，可参阅粒子数据组的网页和出版物 。

绝对值

矩阵元	实验值	矩阵元	实验值	矩阵元	实验值
$|V_{ud}|$	0.97418±0.00027	$|V_{us}|$	0.2255±0.0019	$|V_{ub}|$	(3.93±0.36)×10-3
$|V_{cd}|$	0.230±0.011	$|V_{cs}|$	1.04±0.06	$|V_{cb}|$	(41.2±1.1)×10-3
$|V_{td}|$	(8.1±0.6)×10-3	$|V_{ts}|$	(38.7±2.3)×10-3	$|V_{tb}|$	> 0.74

与重子生成的关系

CP破坏是解釋自宇宙大爆炸以來僅物質存在(即反物質消失)的沙卡洛夫三条件（热力学非平衡，重子数不守恒，C和CP对称性不守恒）之一，因此CKM矩阵在粒子宇宙学中有着重要应用。但是现在公认的结论是實驗測量到CP破壞的數量級，遠不足以解释观测到的重子不对称度，因此重子生成必须有其他的来源。

参考资料

书籍

• T.-P. Cheng, L.-F. Li. Gauge Theory of Elementary Particle Physics. 牛津大学出版社. 1989. ISBN 0-19-851956-7. 
• H. Georgi. Weak Interactions and Modern Particle Physics. Addison-Wesley. 1984. ISBN 0-8053-3163-8. 

外部链接

• 粒子物理数据组首頁
• 康奈尔大学的CLEO实验
• 高能加速器研究機構 (KEK) 的 BELLE 實驗
• SLAC国家加速器实验室 (SLAC) 的 BaBar 實驗
• 费米国家加速器实验室（FNAL）的D0和CDF实验
• 欧洲核子研究中心（CERN）的LHCb 实验