卡比博-小林-益川矩阵

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索
粒子物理學中的
量子數

相關量子數:


組合:


味混合

卡比博-小林-益川矩阵Cabibbo-Kobayashi-Maskawa,CKM或KM matrix)是粒子物理标准模型的一个重要组成成份,它表征了顶类型和底类型夸克间通过W粒子弱相互作用的耦合强度。对二代夸克情形,它是由意大利物理学家卡比博在1963年首先给出的,通常被称为卡比博矩阵或卡比博角。1973年日本物理学家小林诚益川敏英把它推广到三代夸克。三代矩阵含有相位,可以用来解释弱相互作用中的电荷宇称对称性破缺(CP破坏),也被经常用来解释宇宙重子数不对称。CKM矩阵在轻子中的对应是牧-中川-坂田矩阵Maki-Nakagawa-Sakata或MNS)。

内容[编辑]

历史[编辑]

早期的粒子物理模型包涵三种夸克—上夸克下夸克奇异夸克。在研究强子弱衰变中,人们发现奇异数守恒的过程要比不守恒的过程进行得快约20倍。为解释此现象,卡比博引入了一个下夸克和奇异夸克(这两种夸克有相同的量子数)之间的混合角θc[1]。上夸克与下夸克和奇异夸克的相互作用耦合分别正比于此角的余弦(cosθc)和正弦(sinθc)。实验上sinθc约为0.23。

1973年,在一篇发表在日本期刊《理论物理学进展》上的题为“弱相互作用可重整化理论中的CP破坏”的论文中,小林诚和益川敏英把卡比博角推广到三代夸克[2]。他们发现虽然一般的三维幺正矩阵有九个实参数,但是只有四个具有物理意义,而其它的都可以被吸收到夸克波函数的位相中而不为观测。四个物理参数中的一个是位相因子,它提供了CP破坏的微观机制,同時猜测了第三代夸克的存在,因此具有重大的物理意义。他们二人也因而与南部阳一郎分享了2008年诺贝尔物理学奖[3][4]

如今,寻找CKM矩阵参数的微观物理起源是粒子物理理论研究的重大课题之一。

参数化表示[编辑]

CKM矩阵是一个三维幺正矩阵。 小林诚和益川敏英当初给的表示是[2]:

\begin{bmatrix} cos\theta_1 & -sin\theta_1 cos\theta_3 & -sin\theta_1 sin\theta_3 \\
 sin\theta_1 cos\theta_2 & cos\theta_1 cos\theta_2 cos\theta_3 - sin\theta_2 sin\theta_3 e^{i\delta} &  cos\theta_1 cos\theta_2 sin\theta_3 + sin\theta_2 cos\theta_3 e^{i\delta}\\
 sin\theta_1 sin\theta_2 & cos\theta_1 sin\theta_2 cos\theta_3 + cos\theta_2 sin\theta_3 e^{i\delta} &  cos\theta_1 sin\theta_2 sin\theta_3 - cos\theta_2 cos\theta_3 e^{i\delta} \end{bmatrix}

在标准参数化下,它可以由三个混合角(θ12θ13θ23)和一个相位(δ)表示为[5]

\begin{bmatrix}  V_{ud} & V_{us} & V_{ub} \\
V_{cd} & V_{cs} & V_{cb}\\
V_{td} & V_{ts} &V_{tb} \end{bmatrix} 
= \begin{bmatrix} c_{12}c_{13} & s_{12} c_{13} & s_{13}e^{-i\delta_{13}}  \\
 -s_{12}c_{23} - c_{12}s_{23}s_{13}e^{i\delta_{13}} & c_{12}c_{23} - s_{12}s_{23}s_{13}e^{i\delta_{13}} & s_{23}c_{13}\\
 s_{12}s_{23} - c_{12}c_{23}s_{13}e^{i\delta_{13}} & -c_{12}s_{23} - s_{12}c_{23}s_{13}e^{i\delta_{13}} & c_{23}c_{13} \end{bmatrix}.

其中(uct)和(dsb)分别代表三代顶类型(上、粲、顶)和底类型(下、奇异、底)夸克,c12s12等是cosθ12,sinθ12等的简写。 目前实验给出的数据:

θ12 = 13.04±0.05°
θ13 = 0.201±0.011°
θ23 = 2.38±0.06°
δ13 = 1.20±0.08

实验上CKM矩阵参数满足s13<<s23<<s12<<1。 描写这一重要特性的一个常用参数化表示是由美国物理学家沃尔芬斯坦Wolfenstein)给出的。记

s_{12}=\lambda=\frac{|V_{us}|}{\sqrt{|V_{ud}|^2+|V_{us}|^2}},\quad
s_{23}=A\lambda^2=\lambda\left|\frac{V_{cb}}{V_{us}}\right|,\,\,

s_{13}e^{i\delta}=V_{ub}^*=A\lambda^3(\rho+i\eta)={\frac{A\lambda^3(\bar\rho+i\bar\eta)(1-A^2\lambda^4)^{1/2}}
{(1-\lambda^2)^{1/2}[1-A^2\lambda^4(\bar\rho+i\bar\eta)]}},

截止到λ3,CKM矩阵为[6]

\begin{bmatrix} 1-\lambda^2/2 & \lambda & A\lambda^3(\rho-i\eta) \\
 -\lambda & 1-\lambda^2/2 & A\lambda^2 \\
 A\lambda^3(1-\rho-i\eta) & -A\lambda^2 & 1  \end{bmatrix}.

么正三角形[编辑]

幺正三角形

CKM矩阵也可用所谓的幺正三角形来图像表示。最常见的是正交关系


V_{ud}V_{ub}^*+V_{cd}V_{cb}^*+V_{td}V_{tb}^*=0

用测量最精确的项(VcdV*cb)来归一,此关系可以表示为复平面上的三角形,其三顶点坐标分别为(0,0),(1,0) 和(\bar\rho\bar\eta),如右图所示。它的面积与位相参数表示化无关,是刻划CP破坏的不变量。文献中称之为雅尔斯廓格(Jarlskog)不变量。

数学推导[编辑]

CKM矩阵的数学推导相当平庸。首先任意一个三维矩阵可以写成欧拉形式V=V2V1V3,其中对角块矩阵V1V2V3有以下形式(X代表非零元)

V_1=\begin{bmatrix} X & X & 0 \\
 X & X & 0 \\
 0 & 0 & X  \end{bmatrix},\quad
V_{2,3}=\begin{bmatrix} X & 0 & 0 \\
 0 & X & X \\ 
 0 & X & X  \end{bmatrix}

其次注意到任意一个二维幺正矩阵可以表为(εηρ为幺模复数,c=cosθs=sinθ

U=\begin{bmatrix} \epsilon c & \epsilon\eta s \\
 -\rho s & \rho\eta c \end{bmatrix}

由此


\begin{bmatrix} \epsilon^* & 0 \\ 0 & \rho^* \end{bmatrix} U \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \eta^* \end{bmatrix} 
= 
\begin{bmatrix} c & s \\
 -s & c \end{bmatrix}

因此可以通过一系列对角幺正矩阵作矩阵变换


V\rightarrow DVD'=DV_2D''D''^*V_1D'''^*D'''V_3D' = V_2'V_1'V_3'

使得


V_2'=\begin{bmatrix} 
1 & 0 & 0 \\
 0 & c_2 & -s_2 \\
 0 & s_2 & c_2  \end{bmatrix},\quad
V_3'=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\
 0 & c_3 & s_3 \\ 
 0 & -s_3 & c_3  \end{bmatrix}

在上式中V2'仍是与V2同形的一般幺正矩阵, 但可以继续在V上左、右相乘与V2'和V3'对易的对角矩阵,即 diag(αββ)型矩阵(αβ幺模),使得


V_1'=\begin{bmatrix} 
c_1 & s_1 & 0 \\
 -s_1 & c_1 & 0 \\
 0 & 0 & e^{i\delta}  \end{bmatrix}

最后将所有的对角(相位)变换矩阵吸收到夸克波函数中去,V2',V1',V3'相乘即得CKM矩阵。

参数测量[编辑]

CKM矩阵元实验测定和最新数据的详细资料,可参阅粒子数据组的网页和出版物[7]


V_{CKM}= \begin{bmatrix}
0.97427 \pm 0.00015 & 0.22534 \pm 0.00065 & 0.00351^{+0.00015}_{-0.00014} \\
0.22520 \pm 0.00065 & 0.97344 \pm 0.00016 & 0.0412^{+0.0011}_{-0.0005} \\
0.00867^{+0.00029}_{-0.00031} & 0.0404^{+0.0011}_{-0.0005} & 0.999146^{+0.000021}_{-0.000046}
\end{bmatrix}.

沃尔芬斯坦参数:\lambda = 0.22535 \pm 0.00065,A=0.817 \pm 0.015,\bar{\rho}=0.136 \pm 0.018,\bar{\eta}=0.348 \pm 0.014

和雅尔斯廓格不变量:J=(2.96_{-0.16}^{+0.20}) \times 10^{-5}

与重子生成的关系[编辑]

CP破坏是解釋自宇宙大爆炸以來僅物質存在(即反物質消失)的沙卡洛夫三条件(热力学非平衡,重子数不守恒,C和CP对称性不守恒)之一,因此CKM矩阵在粒子宇宙学中有着重要应用。但是现在公认的结论是實驗測量到CP破壞的數量級,遠不足以解释观测到的重子不对称度,因此重子生成必须有其他的来源。

参考资料[编辑]

书籍[编辑]

  • 郑大培,李靈峰. Gauge Theory of Elementary Particle Physics [基本粒子物理的规范理论]. 牛津大学出版社. 1989. ISBN 0-19-851956-7. 
  • H. Georgi. Weak Interactions and Modern Particle Physics [弱相互作用和现代粒子物理学]. Addison-Wesley. 1984. ISBN 0-8053-3163-8. 

论文[编辑]

  1. ^ N. Cabibbo. Unitary Symmetry and Leptonic Decays. Physical Review Letters. 1963, 10: 531–533. 
  2. ^ 2.0 2.1 M. Kobayashi and T. Maskawa. CP Violation in the Renormalizable Theory of Weak Interaction. Progress in Theoretical Physics. 1973, 49: 652–657. 
  3. ^ The Nobel Prize in Physics 2008. Nobel Foundation. [2008-10-09]. 
  4. ^ 闫同民. 与2008年诺贝尔物理奖失之交臂的物理学家. 物理双月刊. 354–357. 2013. 
  5. ^ L.L. Chau and W.-Y. Keung. Comments on the Parametrization of the Kobayashi-Maskawa Matrix. Physical Review Letters. 1984, 53: 1802. 
  6. ^ L. Wolfenstein. Parameterization of the Kobayashi-Maskawa Matrix. Physical Review Letters. 1983, 51: 1945–1947. 
  7. ^ K. Nakamura et al.. Review of Particles Physics: The CKM Quark-Mixing Matrix. Journal of Physics G. 2010, 37 (75021): 150. 

外部链接[编辑]