卡茨-穆迪代数

卡茨-穆迪代数是一個李代數，通常無限維，其定義自（Victor Kac所謂的）廣義根系。卡茨-穆迪代数的應用遍及數學和理論物理學。

定義

假定以下材料：

• $C = (c_{ij})$ ——一個r階廣義嘉當矩陣(generalised Cartan matrix) $C = (c_{ij})$ r.
• $\mathfrak{h}$ ———— 一個 2n − r維複向量空間 $\mathfrak{h}$.
• $\mathfrak{h}^*$ ———— $\mathfrak{h}$的對偶空間
• $\alpha_i\$ ————$\mathfrak{h}$ 中 n 枚相互獨立的元，稱為對偶根(co-root)
• $\alpha_i^*$ ————$\mathfrak{h}^*$ 中n 枚線性相互獨立的元 ,稱為根(root)
• 上述各元滿足 $\alpha_i^*(\alpha_j) = c_{ij}$.

卡茨-穆迪代数$\mathfrak{g}$ 由符號 $e_i$ , $f_i$ (i=1,..,n) 及空間$\mathfrak{h}$ 生成：

以上各元滿足以下關係：

• $[e_i,f_i] = \alpha_i.\$
• $[e_i,f_j] = 0\$ ；其中 $i \neq j.$
• $[e_i,x]=\alpha_i^*(x)e_i$, 其中$x \in \mathfrak{h}.$
• $[f_i,x]=-\alpha_i^*(x)f_i$, 其中 $x \in \mathfrak{h}.$
• $[x,x'] = 0\$ ；其中 $x,x' \in \mathfrak{h}.$
• $[e_i,[e_i,\ldots,[e_i,e_j]]] = \mathcal C_{e_i}^{1-c_{ij}}\;e_j = 0$  ;其中$e_i.\$出現 $1-c_{ij}\$ 次;
• $[f_i,[f_i,\ldots,[f_i,f_j]]] = \mathcal C_{f_i}^{1-c_{ij}}\;f_j = 0$  ;其中$f_i.\$出現 $1-c_{ij}\$ 次;

(其中 $\mathcal C_{x}\;y = [x,y]$.)

一個 實(維數可以無限)李代數亦可稱為 Kac–Moody代數，若其 複化 是個 Kac–Moody代數.

釋義

• $\mathfrak{h}$ 是此卡茨-穆迪代数的一嘉當子代數。
• 若 g 是 Kac–Moody 代數的一元，使得

$\forall x\in \mathfrak{h}\,[g,x]=\omega(x)g$

其中 ω 是 $\mathfrak{h}^*$的一元，

則稱g 為 權(weight) ω的. 我们可分解一Kac–Moody 代數成其冪空間，則嘉當子代數 $\mathfrak{h}$的冪为零，e_i的冪为α*_i，而f_i的冪为−α*_i。若二冪特徵向量的李括號非零，則其冪是二冪之和。（若 $i \neq j$ ) 則 $[e_i,f_j] = 0\$ 一條件即指 α*_i 都是簡單根。

分類

我们可分解廣義嘉當矩陣 C 成矩陣積 DS, 其中 D 是 正對角矩陣, S 是 對稱矩陣。 然則有三種可能:

• $\mathfrak{g}$ 有限維 單李代數 (S 正定)
• $\mathfrak{g}$ 是 仿射李代數 (S 正半定)
• 雙曲 (S 不定)

S 不可能 負定 或 負半定 因其對角元皆正.

參見

• 外爾-卡茨特徵標公式
• 广义卡茨-穆迪代数

參考

• <<Infinite-Dimensional Lie Algebras>>, Victor Kac, Cambridge University Press
• Encyclopaedia of Mathematics, Springer On-line References