卡茨-穆迪代数

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卡茨-穆迪代数是一個李代數,通常無限維,其定義自(Victor Kac所謂的)廣義根系。卡茨-穆迪代数的應用遍及數學理論物理學

定義[编辑]

假定以下材料:

  • C = (c_{ij}) ——一個r廣義嘉當矩陣(generalised Cartan matrix) C = (c_{ij}) r.
  • \mathfrak{h} ———— 一個 2n − r維複向量空間 \mathfrak{h}.
  • \mathfrak{h}^* ———— \mathfrak{h}對偶空間
  • \alpha_i\ ————\mathfrak{h}n 枚相互獨立的元,稱為對偶根(co-root)
  • \alpha_i^* ————\mathfrak{h}^*n 枚線性相互獨立的元 ,稱為(root)
  • 上述各元滿足 \alpha_i^*(\alpha_j) = c_{ij}.

卡茨-穆迪代数\mathfrak{g} 由符號 e_i , f_i (i=1,..,n) 及空間\mathfrak{h} 生成:

以上各元滿足以下關係:

  • [e_i,f_i] = \alpha_i.\
  • [e_i,f_j] = 0\ ;其中 i \neq j.
  • [e_i,x]=\alpha_i^*(x)e_i, 其中x \in \mathfrak{h}.
  • [f_i,x]=-\alpha_i^*(x)f_i, 其中 x \in \mathfrak{h}.
  • [x,x'] = 0\ ;其中 x,x' \in \mathfrak{h}.
  • [e_i,[e_i,\ldots,[e_i,e_j]]] = \mathcal C_{e_i}^{1-c_{ij}}\;e_j = 0  ;其中e_i.\ 出現 1-c_{ij}\ 次;
  • [f_i,[f_i,\ldots,[f_i,f_j]]] = \mathcal C_{f_i}^{1-c_{ij}}\;f_j = 0  ;其中f_i.\ 出現 1-c_{ij}\ 次;

(其中 \mathcal C_{x}\;y = [x,y].)

一個 (維數可以無限)李代數亦可稱為 Kac–Moody代數,若其 複化 是個 Kac–Moody代數.

釋義[编辑]

  • \mathfrak{h} 是此卡茨-穆迪代数的一嘉當子代數
  • g 是 Kac–Moody 代數的一元,使得
\forall x\in \mathfrak{h}\,[g,x]=\omega(x)g

其中 ω 是 \mathfrak{h}^*的一元,

則稱g(weight) ω的. 我们可分解一Kac–Moody 代數成其冪空間,則嘉當子代數 \mathfrak{h}的冪为零,ei的冪为α*i,而fi的冪为−α*i。若二冪特徵向量的李括號非零,則其冪是二冪之和。(若 i \neq j ) 則 [e_i,f_j] = 0\ 一條件即指 α*i 都是簡單根。

分類[编辑]

我们可分解廣義嘉當矩陣 C 成矩陣積 DS, 其中 D 是 正對角矩陣, S 是 對稱矩陣。 然則有三種可能:

S 不可能 負定負半定 因其對角元皆正.

參見[编辑]


參考[编辑]