卡西尼卵形线

卡西尼卵形线，焦点为(-1, 0)和(1, 0)

卡西尼卵形线，是平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹，是环面曲线的一种。也就是说，如果我们定义dist(a,b)为从点a到点b的距离，则卡西尼卵形线上的所有点都满足以下的方程：

$\mbox{dist}(q_1, p)\mbox{dist}(q_2, p)=b^2\,$

其中b是常数。

q₁和q₂称为卵形线的焦点。

假设q₁是点(a,0)，q₂是点(-a,0)，则曲线的方程为：

$((x-a)^2+y^2)((x+a)^2+y^2)=b^4$

或

$(x^2+y^2)^2-2a^2(x^2-y^2)+a^4=b^4$

以及

$(x^2+y^2+a^2)^2-4a^2x^2=b^4$

极坐标系中的方程为：

$r^4-2a^2r^2 \cos 2\theta = b^4-a^4$

卵形线的形状与比值b/a有关。如果b/a大于1，则轨迹是一条闭曲线。如果b/a小于1，则轨迹是两条不相连的闭曲线。如果b/a等于1，则是伯努利双扭线。

参考文献

• Gray, A. "Cassinian Ovals." §4.2 in Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, 2nd ed. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 82-86, 1997.
• Lockwood, E. H. A Book of Curves. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 187-188, 1967.

外部链接

• Eric W. Weisstein, 卡西尼卵形线, MathWorld.

• 2Dcurves.com