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卡諾定理 (熱力學)

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卡諾定理(Carnot定理)是熱力學中的一個定理,說明熱機的最大熱效率只和其高溫熱源和低溫熱源之間的溫度差有關。

根據卡諾定理,則

  • 所有不可逆的熱機,其熱效率會比使用相同高溫和低溫熱源的卡諾熱機要低。
  • 所有可逆的熱機,其熱效率會等於相同高溫和低溫熱源的卡諾熱機。

依卡諾定理可得到一熱機的最大熱效率\eta(也稱作卡諾效率)為

\eta_{\text{max}} = \eta_{\text{Carnot}} = 1 - \frac{T_C}{T_H}

其中

上式的熱效率是指熱機產生的功和高溫熱源提供能量的比值。

上述定律其實是熱力學第二定律的結果。不過當初在推導此定律時是以熱質說為基礎,且以此定律為基礎建立熱力學第二定律[1]


證明[编辑]

證明卡諾定理

此定理可用以下的方式,針對不可逆熱機及可逆熱機的情形進行證明[2]

不可逆熱機[编辑]

假設一不可逆熱機,其熱源為T_1T_2,其熱效率為\eta,此熱機和一個效率為\eta\prime的逆卡諾熱機,依右圖的方式組合成一個熱力學循環,不可逆熱機產生的功為逆卡諾熱機的工作來源。

\eta=\eta\prime,則此熱力學循環對系統沒有任何影響,與不可逆性矛盾,因此不成立。

\eta>\eta\prime,則此熱力學循環可由低溫熱源T_2取出

\Delta Q=\eta Q\left(\frac{1}{\eta\prime}-1\right)-(1-\eta)Q=Q\left(\frac{\eta}{\eta\prime}-1\right)>0

的能量,將此能量釋放到高溫熱源T_1,且不引起其他變化,違反熱力學第二定律,也無法成立。

因此結論為\eta<\eta\prime,不可逆熱機的效率\eta較卡諾熱機的效率\eta\prime低。

可逆熱機[编辑]

對於可逆熱機的例子,可依類似的方式得到\eta\leqslant\eta\prime的結果。

若用待測的可逆熱機當成逆熱機,和一般的卡諾熱機形成一個熱力學循環,也可得到\eta\prime\leqslant\eta的結果。

由於上述二式需同時成立,可得以下的式子

\eta=\eta\prime

應用在燃料電池上[编辑]

有關卡諾定理是否能應用在燃料電池,至今科學家還沒有達成共識。凱斯西儲大學的教授認為「由於燃料電池中的電化學反應不涉及將熱能轉換為機械能,因此不受卡諾定理的限制」[3]。不過K. T. Jacob及Saurabh Jain則認為「傳統的觀點認為燃料電池不受卡諾定理的限制,不過最近幾篇論文都認為熱力學第二定律不但限制熱機的效率,也以同樣方式限制燃料電池的效率」[4]

參考資料[编辑]

  1. ^ John Murrell. A Very Brief History of Thermodynamics. [October 5,2010]. 
  2. ^ Lecture 10: Carnot theorem. Feb 7,2005 [October 5,2010]. 
  3. ^ Fuel Cell versus Carnot Efficiency. [Feb 20, 2011]. 
  4. ^ Fuel cell efficiency redefined : Carnot limit reassessed. [Feb 20, 2011].