卡诺定理

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\begin{align} & {} \qquad DG + DH + DF  \\ & {} = |DG| + |DH|- |DF| \\ & {} = R + r \end{align}

设ABC为三角形,O为其外心。则O到ABC各边的距离之和为

OOA + OOB + OOC = R + r

其中r为内切圆半径,R为外接圆半径。这个定理叫做卡诺定理

引理[编辑]

\triangle ABC中,R\triangle ABC之外接圓半徑,且r\triangle ABC之內切圓半徑,則

r=4R\sin(\frac{A}{2})\sin(\frac{B}{2})\sin(\frac{C}{2})

證明[编辑]

假設\triangle ABC為銳角三角形,D\triangle ABC之外接圓圓心,D\triangle ABC三邊之距離分別為\overline{DG}\overline{DH}\overline{DF},其中\overline{DG}D\overline{AB}之距離,\overline{DH}D\overline{BC}之距離,\overline{DF}D\overline{AC}之距離。連接DB,在\triangle HDB中,根據三角形外心性質,可以得到

\overline{DB}=R
\angle{HDB}=\angle{A}

所以,可以得到\overline{DH}的表示式,

\overline{DH}=R\cos (A)

同理,亦可得到\overline{DG}\overline{DF}的表示式,

\overline{DG}=R\cos (C)
\overline{DF}=R\cos (B)

因此,

\overline{DG}+\overline{DH}+\overline{DF}\,
= R(\cos (A)+\cos (B)+\cos (C))\,
=R(2\cos (\frac{A+B}{2}) \cos(\frac{A-B}{2})+1-2\sin^2 (\frac{C}{2}))\,
=R(2\cos (\frac{\pi-C}{2}) \cos(\frac{A-B}{2})+1-2\sin (\frac{\pi-(A+B)}{2}) \sin(\frac{C}{2}))\,
=R(2\sin (\frac{C}{2}) \cos(\frac{A-B}{2})+1-2\cos (\frac{(A+B)}{2}) \sin(\frac{C}{2}))\,
=R(2\sin (\frac{C}{2}) (\cos(\frac{A-B}{2})-\cos (\frac{(A+B)}{2}))+1)\,
=R(4\sin (\frac{A}{2}) \sin (\frac{B}{2}) \sin (\frac{C}{2})+1)\,
=4R\sin (\frac{A}{2}) \sin (\frac{B}{2}) \sin (\frac{C}{2})+R\,

根據引理,即可得證,

\overline{DG}+\overline{DH}+\overline{DF}=R+r

此外,若\triangle ABC為鈍角三角形,且\angle{B}大於90度,其餘符號假設均與上面相同,則可以得到,

\overline{DH}=R\cos (A)\,
\overline{DF}=R\cos (\pi-B)=-R\cos (B)\,
\overline{DG}=R\cos (C)\,

所以,

\overline{DG}+\overline{DH}-\overline{DF}\,
= R(\cos (A)+\cos (B)+\cos (C))\,
=R+r\,

故得證卡諾定理。