卡诺定理

$\begin{align} & {} \qquad DG + DH + DF \\ & {} = |DG| + |DH|- |DF| \\ & {} = R + r \end{align}$

设ABC为三角形，O为其外心。则O到ABC各边的距离之和为

OO_A + OO_B + OO_C = R + r，

其中r为内切圆半径，R为外接圆半径。这个定理叫做卡诺定理。

引理

在$\triangle ABC$中，R為$\triangle ABC$之外接圓半徑，且r為$\triangle ABC$之內接圓半徑，則

$r=4R\sin(\frac{A}{2})\sin(\frac{B}{2})\sin(\frac{C}{2})$

證明

假設$\triangle ABC$為銳角三角形，D為$\triangle ABC$之外接圓圓心，D至$\triangle ABC$三邊之距離分別為$\overline{DG}$、$\overline{DH}$、$\overline{DF}$，其中$\overline{DG}$為D至$\overline{AB}$之距離，$\overline{DH}$為D至$\overline{BC}$之距離，$\overline{DF}$為D至$\overline{AC}$之距離。連接D與B，在$\triangle HDB$中，根據三角形外心性質，可以得到

$\overline{DB}=R$

$\angle{HDB}=\angle{A}$

所以，可以得到$\overline{DH}$的表示式，

$\overline{DH}=R\cos (A)$

同理，亦可得到$\overline{DG}$和$\overline{DF}$的表示式，

$\overline{DG}=R\cos (C)$

$\overline{DF}=R\cos (B)$

因此，

$\overline{DG}+\overline{DH}+\overline{DF}\,$

$= R(\cos (A)+\cos (B)+\cos (C))\,$

$=R(2\cos (\frac{A+B}{2}) \cos(\frac{A-B}{2})+1-2\sin^2 (\frac{C}{2}))\,$

$=R(2\cos (\frac{\pi-C}{2}) \cos(\frac{A-B}{2})+1-2\sin (\frac{\pi-(A+B)}{2}) \sin(\frac{C}{2}))\,$

$=R(2\sin (\frac{C}{2}) \cos(\frac{A-B}{2})+1-2\cos (\frac{(A+B)}{2}) \sin(\frac{C}{2}))\,$

$=R(2\sin (\frac{C}{2}) (\cos(\frac{A-B}{2})-\cos (\frac{(A+B)}{2}))+1)\,$

$=R(4\sin (\frac{A}{2}) \sin (\frac{B}{2}) \sin (\frac{C}{2})+1)\,$

$=4R\sin (\frac{A}{2}) \sin (\frac{B}{2}) \sin (\frac{C}{2})+R\,$

根據引理，即可得證，

$\overline{DG}+\overline{DH}+\overline{DF}=R+r$

此外，若$\triangle ABC$為鈍角三角形，且$\angle{B}$大於90度，其餘符號假設均與上面相同，則可以得到，

$\overline{DH}=R\cos (A)\,$

$\overline{DF}=R\cos (\pi-B)=-R\cos (B)\,$

$\overline{DG}=R\cos (C)\,$

所以，

$\overline{DG}+\overline{DH}-\overline{DF}\,$

$= R(\cos (A)+\cos (B)+\cos (C))\,$

$=R+r\,$

故得證卡諾定理。