卢卡斯数

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卢卡斯数是一个以数学家爱德华·卢卡斯命名的整数序列,他既研究了这个数列,也研究了有密切关系的斐波那契数。与斐波那契数一样,每一个卢卡斯数都定义为前两项之和,也就是说,它是一个斐波那契整数序列。两个相邻的卢卡斯数之比收敛于黄金分割比

但是,最初两个卢卡斯数是L0 = 2和L1 = 1,而不是0和1。所以,卢卡斯数的性质与斐波那契数的性质有些不同。

卢卡斯数可以定义如下:

 
  L_n := L(n):=
  \begin{cases}
    2             & \mbox{if } n = 0; \\
    1             & \mbox{if } n = 1; \\
    L(n-1)+L(n-2) & \mbox{if } n > 1. \\
   \end{cases}

前几个卢卡斯数是:

2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, ... (OEIS中的数列A000032

延伸到负数[编辑]

用Ln-2 = Ln - Ln-1的公式,我们可以把卢卡斯数延伸到负数。这样我们得到以下数列:

(... -11, 7, -4, 3, -1, 2, 1, 3, 4, 7, 11, ...)

一般地,我们有

  • L_{-n}=(-1)^nL_n.\!

与斐波那契数的关系[编辑]

卢卡斯数与斐波那契数有以下关系:

  • \,L_n = F_{n-1}+F_{n+1}
  • \,L_n^2 = 5 F_n^2 + 4 (-1)^n,因此,当n\,趋近于无穷大时,L_n \over F_n\,趋近于\sqrt{5}\,
  • \,F_{2n} = L_n F_n
  • \,F_n = {L_{n-1}+L_{n+1} \over 5}

通项公式为:

L_n = \varphi^n + (1-\varphi)^{n} = \varphi^n + (- \varphi)^{- n}=\left({ 1+ \sqrt{5} \over 2}\right)^n + \left({ 1- \sqrt{5} \over 2}\right)^n\, ,

其中\varphi黄金分割比

同余关系[编辑]

如果n是素数,则Ln被n除余1,但某些合数也具有这个性质。

卢卡斯素数[编辑]

卢卡斯素数就是既是卢卡斯数又是素数的整数。最小的几个卢卡斯素数为:

2, 3, 7, 11, 29, 47, 199, 521, 2207, 3571, 9349, ... (OEIS中的数列A005479

除了n = 0、4、8、16的情况外,如果Ln是素数,则n是素数。但是,它的逆命题不成立。

參考[编辑]

参考文献[编辑]

  • Hoggatt, V. E. Jr. The Fibonacci and Lucas numbers. Boston, MA: Houghton Mifflin, 1969.

外部链接[编辑]