卢卡斯数列

卢卡斯数列是斐波那契数和卢卡斯数的推广，以法国数学家爱德华·卢卡斯命名。

递推关系

给定两个整数P和Q，满足：

$P^2 - 4Q \neq 0$

则第一类卢卡斯数列U_n(P,Q)和第二类卢卡斯数列V_n(P,Q)由以下递推关系定义：

$U_0(P,Q)=0 \,$

$U_1(P,Q)=1 \,$

$U_n(P,Q)=P\cdot U_{n-1}(P,Q)-Q\cdot U_{n-2}(P,Q) \,\, , \, n>1 \,$

以及

$V_0(P,Q)=2 \,$

$V_1(P,Q)=P \,$

$V_n(P,Q)=P\cdot V_{n-1}(P,Q)-Q\cdot V_{n-2}(P,Q) \,\, , \, n>1 \,$

代数关系

卢卡斯数列的特征方程是：

$x^2 - Px + Q=0 \,$

它的判别式是$D=P^2 - 4Q$，它的根是：

$a = \frac{P+\sqrt{D}}2\quad , \quad b = \frac{P-\sqrt{D}}2. \,$

注意a和b是不同的，因为$D\ne 0.$

卢卡斯数列的项可以用a和b的项定义如下：

$U_n(P,Q)= \frac{a^n-b^n}{a-b} = \frac{a^n-b^n}{ \sqrt{D}}$

$V_n(P,Q)=a^n+b^n \,$

从中我们可以推出以下关系：

$a^n = \frac{V_n + U_n \sqrt{D}}{2}$

$b^n = \frac{V_n - U_n \sqrt{D}}{2}$

其它关系

不少斐波那契数和卢卡斯数所满足的关系，在卢卡斯数列中也有类似的形式。例如：

一般	P=1, Q=-1
$U_n = \frac{V_{n+1} - Q V_{n-1}}{P^2-4Q}$	$U_n = \frac{V_{n+1} + V_{n-1}}{5}$
$V_n = U_{n+1} - Q U_{n-1}$	$V_n = U_{n+1} + U_{n-1}$
$U_{2n} = U_n V_n$	$U_{2n} = U_n V_n$
$V_{2n} = V_n^2 - 2Q^n$	$V_{2n} = V_n^2 - 2(-1)^n$
$U_{n+m} = U_n U_{m+1} - Q U_m U_{n-1}$	$U_{n+m} = U_n U_{m+1} + U_m U_{n-1}$
$V_{n+m} = V_n V_m - Q^m V_{n-m} \,$	$V_{n+m} = V_n V_m - (-1)^m V_{n-m} \,$

特殊名称

对于某些P和Q的值，卢卡斯数列有特殊名称：

U_n(1,−1)：斐波那契数

V_n(1,−1)：卢卡斯数

U_n(2,−1)：佩尔数

U_n(1,−2)：Jacobsthal数

应用

• LUC是一个基于卢卡斯数列的密码系统。

参考文献

• Ribenboim, Paulo. My Numbers, My Friends: Popular Lectures on Number Theory. New York: Springer-Verlag. 2000. 0-387-98911-0. 
• Arthur T. Benjamin; Jennifer J. Quinn. Proofs that Really Count. Mathematical Association of America. 2003:  35. ISBN 0883853337.