卢卡斯数列

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索
Confusion grey.svg
提示:本条目的主题不是卢卡斯数

卢卡斯数列斐波那契数卢卡斯数的推广,以法国数学家爱德华·卢卡斯命名。

递推关系[编辑]

给定两个整数PQ,满足:

P^2 - 4Q \neq 0

则第一类卢卡斯数列Un(P,Q)和第二类卢卡斯数列Vn(P,Q)由以下递推关系定义:

U_0(P,Q)=0 \,
U_1(P,Q)=1 \,
U_n(P,Q)=P\cdot U_{n-1}(P,Q)-Q\cdot U_{n-2}(P,Q) \,\, , \, n>1 \,

以及

V_0(P,Q)=2 \,
V_1(P,Q)=P \,
V_n(P,Q)=P\cdot V_{n-1}(P,Q)-Q\cdot V_{n-2}(P,Q) \,\, , \, n>1 \,

代数关系[编辑]

卢卡斯数列的特征方程是:

x^2 - Px + Q=0 \,

它的判别式D=P^2 - 4Q,它的根是:

a = \frac{P+\sqrt{D}}2\quad , \quad b = \frac{P-\sqrt{D}}2. \,

注意ab是不同的,因为D\ne 0.

卢卡斯数列的项可以用ab的项定义如下:

U_n(P,Q)= \frac{a^n-b^n}{a-b} = \frac{a^n-b^n}{ \sqrt{D}}
V_n(P,Q)=a^n+b^n \,

从中我们可以推出以下关系:

a^n = \frac{V_n + U_n \sqrt{D}}{2}
b^n = \frac{V_n - U_n \sqrt{D}}{2}

其他关系[编辑]

不少斐波那契数和卢卡斯数所满足的关系,在卢卡斯数列中也有类似的形式。例如:

一般 P=1, Q=-1
U_n = \frac{V_{n+1} - Q V_{n-1}}{P^2-4Q} U_n = \frac{V_{n+1} + V_{n-1}}{5}
V_n = U_{n+1} - Q U_{n-1} V_n = U_{n+1} + U_{n-1}
U_{2n} = U_n V_n U_{2n} = U_n V_n
V_{2n} = V_n^2 - 2Q^n V_{2n} = V_n^2 - 2(-1)^n
U_{n+m} = U_n U_{m+1} - Q U_m U_{n-1} U_{n+m} = U_n U_{m+1} + U_m U_{n-1}
V_{n+m} = V_n V_m - Q^m V_{n-m} \, V_{n+m} = V_n V_m - (-1)^m V_{n-m} \,

特殊名称[编辑]

对于某些PQ的值,卢卡斯数列有特殊名称:

Un(1,−1):斐波那契数
Vn(1,−1):卢卡斯数
Un(2,−1):佩尔数
Un(1,−2):Jacobsthal数

应用[编辑]

参考文献[编辑]