卢津定理

卢津（Лузин）定理是实分析的定理。約略來說，這定理指可測函數差不多是連續函數。

定理敘述

一維形式

設$f:[a,b]\to\mathbb C$是可測函數，對任何$\epsilon>0$，都存在緊緻集$E\subset[a,b]$，使得$\lambda([a,b]\setminus E)<\epsilon$，而且f限制到E上是連續函數。此處$\lambda$是勒貝格測度。

證明

因為f可測，所以在一個測度任意小的開集以外，f是有界函數。在開集上重定義f為0，那麼f在[a,b]上有界，因而是可積函數。因為連續函數在可積函數的空間$\mathrm L^1([a,b])$中稠密，存在連續函數序列$g_i$依L¹範數收斂至f，即$\int_a^b\left|g_i-f\right|\to 0$。故此有子序列$g_{i_k}$幾乎處處收斂至f。從葉戈羅夫定理可知，除了一個測度任意小的開集外，$g_{i_k}$一致收斂至f。因為連續函數的一致收斂極限仍是連續的，故此f在此開集外連續。取E為以上兩個開集的並集在[a,b]中的補集，那麼原本的f在E上連續。

多維形式

設$\mu$是$\mathbb{R}^n$上的博雷爾正則測度，$f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$是$\mu$可測函數。X是$\mathbb{R}^n$中的$\mu$可測集，而且$\mu(X) < \infty$，那麼對任意$\epsilon>0$，X中存在緊緻集K，使得$\mu(X\backslash K) < \epsilon$，而且f限制到K上是連續函數。

證明

首先，對每個正整數i，構造緊緻集$K_i$和在其上的連續函數$g_i$，使得

$\mu(X\setminus K_i)<\epsilon/2^i$

且在$K_i$上有

$\left|f(x)-g_i(x)\right| < 1/i$

構造方法如下：

將$\mathbb R^m$分成兩兩不交的博雷爾集$(Y_{ij})_{j=1}^\infty$，使得每個集的直徑都小於1/i。函數f可測，所以每個集的原像$f^{-1}(Y_{ij})$是可測集。令$X_{ij}=X\cap f^{-1}(Y_{ij})$，則$X_{ij}$將X分成兩兩不交的可測集。

由於$\mu$是博雷爾正則測度，且$\mu(X)<\infty$，於是$\mu$限制到X上是拉東測度。由拉東測度的內正則性，在$X_{ij}$中存在緊緻子集$K_{ij}$，使得

$\mu(X_{ij}\setminus K_{ij})<\epsilon/2^{i+j}$

所以全部子集$X_{ij}\setminus K_{ij}$的不交並集的測度

$\mu(X\setminus\bigcap_{j=1}^\infty K_{ij}) <\epsilon/2^i$

因為$\mu(X\setminus\bigcap_{j=1}^\infty K_{ij}) =\lim_{n\to\infty}\mu(X\setminus\bigcap_{j=1}^n K_{ij})$，可以取足夠大的N使得

$\mu(X\setminus\bigcap_{j=1}^N K_{ij}) <\epsilon/2^i$

令$K_i=\bigcap_{j=1}^N K_{ij}$。有限個緊緻集的並集是緊緻集，所以$K_i$緊緻。因此$K_i$滿足要求。

對j=1,..., N，在$Y_{ij}$中任取一點$y_{ij}$，並在$K_{ij}$上定義$g_i(x)=y_{ij}$。

因為在$K_{ij}$上，f的值包含在$Y_{ij}$中，故此f和$g_i$相差小於1/i。而$K_{ij}$是兩兩不交的緊緻集，故兩兩間的距離都是正數，所以$g_i$在$K_i$上是連續函數。因此$g_i$滿足要求。

取$K=\bigcap_{i=1}^\infty K_i$，K是緊緻集，並有

$\mu(X\setminus K)\leq \sum_{i=1}^\infty\mu(X\setminus K_i)<\epsilon$

函數列$g_i$在K上一致收斂到f。一致收斂保持函數的連續性，所以f在K上連續。

參考

• Evans, Lawrence C.; Gariepy, Ronald F. (1992). Measure theory and fine properties of functions. CRC Press.