卢津定理

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卢津(Лузин)定理实分析的定理。約略來說,這定理指可測函數差不多是連續函數

定理敘述[编辑]

一維形式[编辑]

f:[a,b]\to\mathbb C可測函數,對任何\epsilon>0,都存在緊緻集E\subset[a,b],使得\lambda([a,b]\setminus E)<\epsilon,而且f限制到E上是連續函數。此處\lambda勒貝格測度

證明[编辑]

因為f可測,所以在一個測度任意小的開集以外,f有界函數。在開集上重定義f為0,那麼f在[a,b]上有界,因而是可積函數。因為連續函數在可積函數的空間\mathrm L^1([a,b])稠密,存在連續函數序列g_iL1範數收斂至f,即\int_a^b\left|g_i-f\right|\to 0。故此有子序列g_{i_k}幾乎處處收斂至f。從葉戈羅夫定理可知,除了一個測度任意小的開集外,g_{i_k}一致收斂f。因為連續函數的一致收斂極限仍是連續的,故此f在此開集外連續。取E為以上兩個開集的並集在[a,b]中的補集,那麼原本的fE上連續。

多維形式[编辑]

\mu\mathbb{R}^n 上的正則博雷爾測度f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\mu可測函數X\mathbb{R}^n 中的\mu可測集,而且\mu(X) < \infty,那麼對任意\epsilon>0X中存在緊緻集K,使得\mu(X\backslash K) < \epsilon,而且f限制到K上是連續函數

參考[编辑]

  • Evans, Lawrence C.; Gariepy, Ronald F. (1992). Measure theory and fine properties of functions. CRC Press.