压缩映射

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度量空间(M,d)上的压缩映射,或压缩,是一个从M到它本身的函数f,存在某个实数0 < k < 1,使得对于所有M内的xy,都有:

d(f(x),f(y))\leq k\,d(x,y).

满足以上条件的最小的k称为f利普希茨常数。压缩映射有时称为利普希茨映射。如果以上的条件对于所有的0 < k \leq 1都满足,则该映射称为非膨胀的

更一般地,压缩映射的想法可以定义于两个度量空间之间的映射。如果(M,d)(N,d')是两个度量空间,则我们寻找常数k,使得d'(f(x),f(y))\leq k\,d(x,y)对于所有M内的xy

每一个压缩映射都是利普希茨连续的,因此是一致连续的。

一个压缩映射最多有一个不动点。另外,巴拿赫不动点定理说明,非空的完备度量空间上的每一个压缩映射都有唯一的不动点,且对于M内的任何x迭代函数序列xf (x),f (f (x)),f (f (f (x))),……收敛于不动点。这个概念在迭代函数系统中是非常有用的,其中通常要利用压缩映射。巴拿赫不动点定理也用来证明常微分方程的解的存在,以及证明反函数定理[1]

参见[编辑]

注释[编辑]

  1. ^ Theodore Shifrin, Multivariable Mathematics, Wiley, 2005, ISBN 0-471-52638-X, pp. 244-260.

参考文献[编辑]

  • Vasile I. Istratescu, Fixed Point Theory, An Introduction, D.Reidel, Holland (1981). ISBN 90-277-1224-7 provides an undergraduate level introduction.
  • Andrzej Granas and James Dugundji, Fixed Point Theory (2003) Springer-Verlag, New York, ISBN 0-387-00173-5
  • William A. Kirk and Brailey Sims, Handbook of Metric Fixed Point Theory (2001), Kluwer Academic, London ISBN 0-7923-7073-2