原始數

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原始數primeval number)是指一個自然數n,可以用其十進制下的各位數組合出其他質數,而且其質數的數量比其他較小數字所能產生的質數更多。數學家Mike Keith是第一個提出原始數概念的人。

以13為例,所有的1位數最多都只能產生一個質數,10可以組合出0,1,10,都不是質數,11可以組合出,1,11,其中只有11是質數,12可以組合出1,2,12,21,其中只有2是質數,而13可以組合出1,3,13,31,其中可組合出3,13,31等3個質數,比用其他較小數字時所能產生的質數要多,因此13是原始數。

頭幾個原始數是:

1, 2, 13, 37, 107, 113, 137, 1013, 1037, 1079, 1237, 1367, ... (OEIS中的数列A072857

其可以產生的質數個數為:

0, 1, 3, 4, 5, 7, 11, 14, 19, 21, 26, 29, ... (OEIS中的数列A076497

n位數的原始數選擇一個,所能產生的最多質數的個數為:

1, 4, 11, 31, 106, ... (OEIS中的数列A076730

依上述方式,在n位數的質數中可以產生的最小質數為:

2, 37, 137, 1379, 13679, ... (OEIS中的数列A134596

原始數不一定要是質數,第一個是合數的原始數是1037 = 17×61,原始質數(Primeval prime)是指同時是原始數及質數的數:

2, 13, 37, 107, 113, 137, 1013, 1237, 1367, 10079, ... (OEIS中的数列A119535

以下列出前6個原始數及其可以產生的質數:

原始數 產生質數 質數個數
1 0
2 2 1
13 3, 13, 31 3
37 3, 7, 37, 73 4
107 7, 17, 71, 107, 701 5
113 3, 11, 13, 31, 113, 131, 311 7

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